梁的位移.ppt

一 基本概念 5 1梁弯曲时的位移 1 挠度 Deflection 横截面形心C 即轴线上的点 在垂直于x轴方向的线位移 称为该截面的挠度 用w表示 二 变形基本量 basicconcepts 弯曲变形 衡量梁弯曲变形程度的曲线是曲率 我们为什么用挠度和转角 2 转角 slope 横截面对其原来位置的角位移 称为该截面的转角 用 表示 弯曲变形 横截面的转角也就是曲线在该点处的切线与X轴之间的夹角 3 挠曲线 Deflectioncurve 梁变形后的轴线称为挠曲线 也称弹性曲线 式中 x为梁变形前轴线上任一点的横坐标 w为该点的挠度 挠曲线 4 挠度与转角的关系 Relationshipbetweendeflectionandslope 称为转角方程 即挠曲线上任一点处的切线斜率代表该点处的转角 5 挠度和转角符号的规定 Signconventionfordeflectionandslope 挠度向下为正 向上为负 转角自x转至切线方向 顺时针转为正 逆时针转为负 位移的度量 梁的位移 挠度及转角 挠度 转角 挠曲线 梁变形后各截面形心的连线 挠度向下为正 向上为负 转角绕截面中性轴顺时针转为正 逆时针转为负 5 2挠曲线近似微分方程及其积分 横力弯曲时 M和 都是x的函数 略去剪力对梁的位移的影响 则 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 在数学中 由几何关系知 平面曲线的曲率可写作 在规定的坐标系中 x轴水平向右为正 y轴竖直向下为正 曲线向上凸时 y 0 M 0 曲线向下凸时 y 0 因此 M与y 的正负号相反 此式称为梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 1 略去了剪力的影响 2 略去了y 2项 与1相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为 再积分一次 得挠度方程 上式积分一次得转角方程 若为等截面直梁 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 通过积分求弯曲位移的特征 1 适用于细长梁在线弹性范围内 小变形情况下的对称弯曲 2 积分应遍及全梁 在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处 其挠曲线的近似微分方程应分段列出 并相应地分段积分 3 积分常数由位移边界条件确定 边界条件 1 约束条件 支座处的变形相容条件 变形要与实际一致2 连续条件 荷载不连续处 梁的弯矩方程需分段写出时 左右两段梁在交界处的截面要具有相等的挠度和转角 A B 式中积分常数C1 C2可通过梁挠曲线的边界条件来确定 A B 在简支梁中 左右两铰支座处的挠度yA和yB都应等于零 在悬臂梁中 固定端处的挠度yA和转角 A都应等于零 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角 边界条件 求图所示悬臂梁B端的挠度与转角 边界条件 求图示简支梁在集中荷载F的作用下 F力在右半跨 的最大挠度 AC段 CB段 求图示简支梁在集中荷载F的作用下 F力在右半跨 的最大挠度 最大转角 力靠近哪个支座 哪边的转角最大 最大挠度 令x a 转角为零的点在AC段 一般认为梁的最大挠度就发生在跨中 画出挠曲线大致形状 图中C为中间铰 两根梁由中间铰连接 挠曲线在中间铰处 挠度连续 但转角不连续 用积分法求图示各梁挠曲线方程时 试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 将分别出现几个积分常数 并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB BC 共有四个积分常数 边界条件 连续条件 用积分法求图示各梁挠曲线方程时 试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 将分别出现几个积分常数 并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB BC 共有四个积分常数 边界条件 连续条件 用积分法求图示各梁挠曲线方程时 试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 将分别出现几个积分常数 并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB BC 共有四个积分常数 边界条件 连续条件 全梁仅一个挠曲线方程 共有两个积分常数 边界条件 用积分法求图示各梁挠曲线方程时 试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 将分别出现几个积分常数 并写出其确定积分常数的边界条件 用积分法求图示各梁挠曲线方程时 试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段 将分别出现几个积分常数 并写出其确定积分常数的边界条件 挠曲线方程应分两段AB BC 共有四个积分常数 边界条件 连续条件 5 3叠加法求梁变形 叠加原理 梁的变形微小 且梁在线弹性范围内工作时 梁在几项荷载 可以是集中力 集中力偶或分布力 同时作用下的挠度和转角 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向 如均沿y轴方向 其转角是在同一平面内 如均在xy平面内 时 则叠加就是代数和 挠度和转角与荷载成线性关系 叠加法计算位移的条件 1 梁在荷载作用下产生的变形是微小的 2 材料在线弹性范围内工作 梁的位移与荷载呈线性关系 3 梁上每个荷载引起的位移 不受其他荷载的影响 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度 c和梁端截面的转角 A B AB梁的EI为已知 试用叠加法 求梁中间C截面挠度 计算C点挠度 将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半 查表 试用叠加法求图示梁C截面挠度 EI为已知 解 可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加 在跨中C截面处 挠度fc等于零 但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零 图示简支梁AB 在中点处加一弹簧支撑 若使梁的C截面处弯矩为零 试求弹簧常量k C处挠度等于弹簧变形 根据对称关系 平衡关系 叠加法求挠度 5梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施 1 梁的刚度校核 强度校核 承载能力极限状态刚度校核 正常使用极限状态 式中 Wmax为梁上最大的挠度 l为梁的跨长 w l 为梁的许可挠度与的跨长比值 式中 max为梁上最大的转角 许可转角 悬臂梁承受荷载如图示 已知均布荷载集度q 15kN m 梁的长度L 2a 2m 材料的弹性模量E 210GPa 许用正应力 160MPa 梁的许可挠度 L 1 500 试选择工字钢的型号 1 按强度选择 查表 选16号工字钢 2 按刚度选择 查表 选22a号工字钢 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关 而且还与梁的材料 截面尺寸 形状和梁的跨度有关 所以 要想提高弯曲刚度 就应从上述各种因素入手 一 增大梁的抗弯刚度EI梁的位移与截面的惯性矩I成反二 减小跨度或增加支坐位移与跨长l的n次幂成正比 三 材料 梁的位移与材料的E成反比 1 增大梁的抗弯刚度EI 工程中常采用工字形 箱形截面 为了减小梁的位移 可采取下列措施 2 调整跨长 设法缩短梁的跨长 将能显著地减小其挠度和转角 这是提高梁的刚度的一个很又效的措施 桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值 同时 由于梁的外伸部分的自重作用 将使梁的AB跨产生向上的挠度 从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分 而有所减小 增加梁的支座也可以减小梁的挠度 2 提高刚度的途径 提高刚度主要是指减小梁的弹性位移 弹性位移不仅与载荷有关 而且与杆长和梁的弯曲刚度 EIZ 有关 对于梁 其长度对弹性位移影响较大 因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外 主要是减小梁的长度 当梁的长度无法减小时 则可增加中间支座 一般来说确定梁的截面尺寸 首先根据强度 正应力 剪应力 条件选择 然后用刚度条件进行校核 如满足刚度条件则所选截面合适 若校核刚度条件不满足 则应选择更大的截面 思考 梁的跨度对梁强度和刚度的影响程度 6梁内的弯曲应变能 横力弯曲 横力弯曲时梁的应变能包含两部分 弯曲应变能和剪切应变能 在工程中常用的梁 剪切应变能比弯曲应变能小的多 因而剪切应变能不计 因弯矩的增量是一阶无穷小 可略去不计 由于 于是 以上应变能的公式只有当梁在线弹性范围内工作时才适用 轴力FN 扭矩T 内力分量 弯矩M 剪力FS 正应力均匀分布 切应力与距圆心距离成正比分布 应力分布规律 正应力与