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第七章线性空间与欧氏空间 第一节线性空间的定义与基本性质 在第三章学习向量空间时 n维向量空间是所有n维向量构成的集合 其上定义了加法与数乘运算 满足8个运算规律 同样我们可以验证 全体m n矩阵构成的集合对所有m n矩阵的加法与数乘也满足类似的8个运算规律 当然在n维向量空间与所有m n矩阵构成的集合上的加法与数乘是封闭的运算 设V是一个非空集合 K是数域 若满足 定义 1 在V中定义了元素之间加法与数乘运算 对 V k K k 唯一确定且 V 2 加法与数乘运算满足以下8条运算规律 V k l K 在V中存在零元素0 对任意 V 都有 对任何 V 都有 的负元素 使 0 则称V是数域K上的一个线性空间 记作V 若K是实数域 V称为实线性空间 若K为复数域 V称为复线性空间 注 1 线性空间的元素通常称为向量 零元素 零向量 负元素 负向量 但这时元素不能理解为通常意义下的向量 2 加法与数乘运算是一种符号运算 不是通常意义下的加法与数乘 例1数域K上的全体m n矩阵关于矩阵的加法及数与矩阵的乘法构成线性空间 记为Mm n 例2实数范围内的次数不超过n的多项式集合 按照多项式加法与数与多项式的乘法构成一个实线性空间 记为Pn x 例3齐次线性方程组Ax 0的所有解向量组成的集合按照向量的加法与数乘运算构成一个线性空间 记为Sn 非齐次线性方程组Ax b b 0 的解向量集合不构成线性空间 对向量的加法与数乘不封闭 没有零向量 例4定义在闭区间 a b 上的全体实连续函数 按照普通函数的加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间 记为C a b 全体正实数的集合记为V 在其中定义加法及数乘运算为 例5 证明对上述加法与数乘运算构成线性空间 证 运算封闭 运算规律 1 1是零元素 a的负元素是 2 3 4 5 6 7 故V对于所定义的运算构成线性空间 8 线性空间的性质 1 V中零元素是唯一的 2 V中任意元素的负元素唯一 3 0 a 0 1 a a k 0 0 4 k a 0 k 0或a 0 在学习特殊矩阵时 所有数域K上的n n阶上三角矩阵是全体n阶矩阵的子集 而上三角矩阵对矩阵的加法与数乘是封闭的 可以验证满足运算规律 这样所有数域K上的n n阶上三角矩阵构成一个线性空间 称为线性空间Mn n的子空间 例3中齐次线性方程组Ax 0的解向量空间Sn是n维向量空间的子空间 定义设L是数域K上的线性空间V的非空子集 且L对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个线性空间 则称L是V的一个子空间 例若V是线性空间 则V本身也是子空间 只含有单个零元素的集合也是子空间 称为V的零 子
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