[考研数学]北京航天航空大学线性代数 2-2.ppt

2 2矩阵的运算 数域 一个包含0 1的数集且其中任两个元素的和差积商 除数不为0 仍属于此集合 例如 有理数 实数 复数集都是数域 矩阵的运算考察的是某一数域上的矩阵之间的运算 一矩阵的加法与数乘运算 二矩阵的乘法 三矩阵的转置 四矩阵乘积的行列式 一矩阵的加法与数乘运算 定义 设 如果 i 1 2 m j 1 2 n 则称矩阵A与B相等 记为A B 注意 如若 相等 则 1 矩阵相等的条件 同型且对应位置元素相等 2 应用 求相等矩阵对应元素 例设 解 矩阵的加法 定义 设A B是两个m n矩阵 则m n矩阵 称为 和B的和 记做C A B 注意只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 矩阵加法的运算规律 交换律 结合律 5 A 0 A 0表示与A同型的0矩阵 称为矩阵A的负矩阵 矩阵的数乘 定义 用数k乘矩阵的每一个元素 所得到的矩阵 称为矩阵A与数k的乘积 简称数乘 记为kA或k A 数乘的运算规律 二矩阵的乘法运算 平面解析几何中将xoy旋转 角后的坐标系x oy 坐标旋转公式的推导 x y x y o A B C P x OA OB AB x cos y sin 同理有y x sin y cos 得坐标旋转后的变换公式 对应矩阵 再将x oy 旋转 角得坐标系x oy 坐标变换公式为 对应矩阵 代入后得xoy与x oy 之间的坐标变换公式为 此变换对应的系数矩阵为 观察结果 矩阵C的第一行第一列元素c11 cos cos sin sin 是矩阵A的第一行元素与矩阵B的第一列元素一次相乘相加的结果 即c11 a11b11 a12b21 同样可以看出c21 a21b11 a22b21 c12 a11b12 a12b22 c22 a21b12 a22b22 矩阵C称为矩阵A与B的乘积 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 并把此乘积记作 定义 注意 只有当矩阵A的列数等于B矩阵的行数时 乘积AB才有意义 常记为 例1 设 计算AB 练习 解 计算AB 故 解 设 例2 矩阵的乘法不满足交换律 则 例外 比如设 则有 规定 矩阵A乘矩阵B指AB 也称A左乘B B乘A指BA 也称A右乘B 例3设 1 1矩阵可视为数 矩阵相乘时次序非常重要 例4设 则 注意 矩阵乘法与数的运算不同的结论 A 0 B 0 而AB 0 矩阵乘法不能作如下推理 若AB 0 则A B至少有一个零矩阵 另一点 若AC BC且C 0 一般的不到A B 即矩阵乘法不满足消去律 例如 例5设 求满足条件AX XA 称A与X可交换 的矩阵X 解 由题设AX XA及矩阵乘积的定义 X为二阶方阵 因此设 代入有 即 由矩阵相等的定义得方程组 得 这样与A可交换的矩阵形如 其中x12 x22为任意数 例6利用矩阵乘法与矩阵相等的概念 线性方程组 可以写成矩阵相乘等式的形式 若令 线性方程组还可以写成更简单的形式 得到了n元线性方程组与矩阵的联系 以后可以通过矩阵来研究方程组 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 定义 注意 结合律 分配律 矩阵乘法结合律的证明 设 则乘积 AB C与A BC 均有意义 设V AB 则 即 从而 AB C的第i行第j列元素为 i 1 2 m j 1 2 n 另一方面 U BC的第i行第j列元素 即 从而A BC 的第i行第j列元素为 i 1 2 m j 1 2 n 利用加法的交换律 双重加号可换 及矩阵相等的定义 得 AB C A BC 定义 设m n矩阵 将矩阵A的行与列互换 而不改变其先后次序得到的n m矩阵 称为矩阵A的转置矩阵 记为A 或AT 三矩阵的转置 例 转置矩阵的运算性质 性质5的证明 设 于是B 是n k矩阵 A 是k m矩阵 因此B A 有意义 是n m矩阵 而 AB 也是n m一矩阵 只需证明 AB 与B A 对应元素相等 AB 的第i行第j列元素等于AB的第j行第i列元素 即 B 的第i行第t列元素是B的第t行第i列元素 即bti A 的第t行第j列元素是ajt 因此B A 中第i行第j列元素是 因此 AB B A 定理 设A B是两个n阶方阵 则 AB A B 即方阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 证 根据拉普拉斯展开定理 将 A B 写成一个2n阶行列式 四矩阵乘积的行列式 将这2n阶行列式变形 使所有的bij都化为0 则最终得到 由拉普拉斯展开定理 将这2n阶行列式按后n列展开 这后n列中 值不为零n阶子行列式只有一个 于是得到 推论1设 则 A1 A2 Am是m个n阶方阵 则 推论2设AB是两个n阶方阵 乘积矩阵AB为降秩的充分必要条件是A B中至少有一个矩阵是降秩的 注意 本定理及其推论中的条件是 A B均为n阶方阵 当A B不是同阶方阵时 显然 kA kn A P45 12 设a