[考研数学]北京航天航空大学线性代数 6-3 正定二次型.ppt

第三节正定二次型 对二次型f x1 x2 xn 经过满秩变换后可化为规范形 为讨论其性质 在应用中对二次型进行以下分类 定义设f x1 x2 xn x Ax为实二次型 若对于任意非零实向量x x1 x2 xn 都有 f x Ax 0 称f为正定二次型 对称矩阵A称为 正定矩阵 f x Ax 0 称f为负定二次型 对称矩阵A称为 负定矩阵 f x Ax 0 称f为半正定二次型 A为半正定矩阵 f x Ax 0 称f为半负定二次型 A为半负定矩阵 若存在非零向量x1 x2 使得f x1 Ax1 0 f x2 Ax2 0 称f为不定二次型 例1设A为m n的实矩阵 证明 1 A A 或AA 是实对称矩阵 2 二次型f x A A x为半正定二次型 3 当R A n时 f x A A x为正定二次型 证明 1 显然 2 x 0 有 Ax 0或Ax 0 于是 f x A A x Ax Ax 0 因此f半正定 3 当R A n时 方程组Ax 0只有零解 x 0 Ax 0 这样f x A A x Ax Ax 0 因此f正定 例2判断实二次型 的类型 解 取x1 1 0 x2 1 1 有 因此由定义f是不定二次型 问题 如何判定所给定的二次型的类型 定理3 1设n元实二次型f x Ax的秩为r 正惯性指数为p 则f为 正定二次型 p r n 即标准形中有n个正项 负定二次型 p 0 即标准形中有n个负项 半正定二次型 p r n 即标准形中只有r个正项 半负定二次型 p 0 r n 即标准形中只有r个负项 不定二次型 0 p r n 即标准形中正负项同时存在 证明 正定情形 设二次型的标准形为 f x Ax 其中di 0 i 1 2 n 显然 代入 1 右端 总有 f 0 由x Cy y C 1x 将它视为系数矩阵为满秩矩阵C 1的非齐次方程组 由克莱姆法则 对任意非零向量y 有唯一的非零向量 与之对应 由y 0的任意性 因此x 0任意 因此恒有f x Ax 0 这样f正定 反证 若f正定 但标准形不是 1 即p n f x Ax r n 则必存在实向量 代入上式使f 0 同理由C 1x y 对给定的y能确定唯一非零解 使f 0 这与f正定矛盾 p n 其它类似可证 正定二次型 正定矩阵 的性质 注意 正定矩阵是特殊的实对称矩阵 性质1若A B为同阶正定矩阵 k为正实数 则 1 A B kA仍为正定矩阵 2 对任意满秩矩阵C C AC仍为正定矩阵 即合同变换不改变正定性 证明 1 x A B x x Ax x Bx 0 x kA x kx Ax 0 k 0 2 x C AC x Cx A Cx 0 Cx y 0 注C AC与A的正定 负定或不定一致 合同变换保秩 保正 负惯性指数 性质2若A aij n n是正定矩阵 则aii 0 i 1 2 n 证明 由定义 A正定 因此 x 0 x Ax 0 取 则 注 1 反之不成立 例2中 a11 0 a22 0 但不是正定矩阵 2 可用来判断二次型不是正定的 例3 a22 2 0 因此A不是正定矩阵 另外 令 则 是不定二次型 3 若A aij n n是负定矩阵 则aii 0 i 1 2 n 性质3A是正定矩阵 存在实满秩矩阵C 使得 C AC E 即A E A是负定矩阵 A E 性质4A是正定矩阵 A B B 其中B是实满秩矩阵 证明 A正定 A与单位矩阵E合同 存在满秩矩阵C 使得 C AC E A C 1EC 1 C 1C 1 令B C 1即可 A B B A B EB B满秩 A正定 性质5A是正定矩阵 A 0 证明 由性质4 A正定 则存在满秩矩阵B 使得A B B 因此 A B B B 2 0 注性质5为必要条件 A负定时不一定有 A 0 例如 负定 但 A 1 0 性质6A为正定矩阵 A的所有顺序主子式皆大于零 顺序主子式 A负定 A正定 A负定 A的奇数阶顺序主子式小于零 偶数阶顺序主子式大于零 性质7A正定 A的特征值全为正数 例4判断实二次型 是否正定 判断方法 1 顺序主子式 性质6 2 标准形 定理3 1 3 特征值 性质7 解 方法一 二次型所对应的矩阵为 三个顺序主子式 1 0 由性质6 f是正定二次型 方法二用配方法将所给二次型化为标准形 令 为满秩变换 得 正惯性指数p 3 n 得f正定 方法3特征值 f 0 1 f 1 4 f 2 1 f 4 3 f 5 16 由零点定理 f 0有三个正根 f正定 练习判别二次型 是否正定 正定 性质6 例5求 的值 使实二次型 为正定二次型 并讨论 2的情形 解 二次型对应矩阵 令它的