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文档简介

第四节典型例题 从方程组解的理论可以看出矩阵 向量组与方程组的解之间是相互联系的 本节主要是通过一些综合性的例子 把本章以及前几章的内容联系起来 设A是n阶方阵 而A 0 试证 存在一个n阶方阵B 0 使AB 0的充分必要条件是 A 0 证 必要性 利用矩阵的乘法 分块 则 因为 例1 令 所以有 表明B的列向量B1 B2 Bn均为齐次方程组Ax 0的解向量 又因已知B 0 于是可知Ax 0有非零解 从而 因已知 A 0 所以齐次方程组Ax 0有非零解 设为 则非零方阵 必满足AB 0 其中bi i 1 2 n 不全为零 充分性 本题必要性的反证法证明如下 假若 A 0 则A 1存在 则由AB 0得 即得 这与题设矛盾 故 设A B均为m阶方阵 试证 若AB 0 则R A R B m 证 由AB 0 若设 则 于是 说明 m维向量B1 B2 Bm为齐次方程组Ax 0的m个解向量 例2 设R A r m 则齐次方程组的基础解系含有m r个向量 注意到x为m维向量 于是B1 B2 Bm可由此m r个线性无关的解向量线性表出 故 即 得 若R A m 则Ax 0只有零解 此时B1 B2 Bm 0 即B 0 从而R B 0 结论依然成立 例3 试证 若A是n n 2 阶方阵 则 其中A 为A的伴随矩阵 证 当R A n时 因为 于是 得 因此 由 得 当R A n 1时 此时 A 0 由AA A E得AA 0 由例2结论得R A R A n 因R A n 1 所以 另一方面 由R A n 1知必有一个n 1阶子式不为零 故A 0 即R A 1 于是得 当R A n 1时 此时A的n 1阶子式均为零 由A 的定义知A 0 于是得 例4 已知A B C均为四阶方阵 且A BC R B 4 R C 2 若 1 2 3是齐次方程组Ax 0的解向量 证明 1 2 3线性相关 证 因B为四阶方阵 所以B为满秩矩阵 而A BC 故由第二章定理4 3的推论3得 则齐次线性方程组Ax 0的基础解系由两个线性无关解向量 1 2构成 由已
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