含参不等式恒成立问题的解法.ppt

含参不等式恒成立问题的解法 一 基础知识点 f x ax b x 则 f x 0恒成立 f x 0恒成立 ax2 bx c 0在R上恒成立的充要条件是 ax2 bx c 0在R上恒成立的充要条件是 f x 恒成立的充要条件是 f x 恒成立的充要条件是 更多资源 二 典型例题 例1 对于不等式 1 m x2 m 1 x 3 0 1 当 x 2 式恒成立 求实数m的取值范围 2 当 m 2 式恒成立 求实数x的取值范围 当1 m1 式在x 2 2 时恒成立的充要条件为 解 1 当1 m 0即m 1时 式恒成立 故m 1适合 1 m 2 2 m 1 2 3 0 当1 m 0时 即m 1 式在x 2 2 时恒成立的充要条件为 m 1 2 12 I m 0 解得 11 m 1 解得 1 m 综上可知 适合条件的m的范围是 11 m 则g m 0恒成立 解 2 设g m x2 x m x2 x 3 m 2 2 x 例1 对于不等式 1 m x2 m 1 x 3 0 1 当 x 2 式恒成立 求实数m的取值范围 2 当 m 2 式恒成立 求实数x的取值范围 练习1 对于一切 p 2 p R 不等式x2 px 1 2x p恒成立 则实数x的取值范围是 x3 小结 1 一次函数型问题 利用一次函数的图像特征求解 2 二次函数型问题 结合抛物线图像 转化成最值问题 分类讨论 例2 若不等式x20 对x 3 3 恒成立 则实数k的取值范围是 在同一坐标系下作它们的图象如右图 由图易得 a 1 a 1 y kx y 2x y 2x 解 原不等式可化为 x2 2 kx 例2 若不等式x20 对x 3 3 恒成立 则实数k的取值范围是 设y1 x2 2 x 3 3 y2 kx 在同一坐标系下作它们的图象如右图 由图易得 2 k 2 2 k 2 小结 3 对于f x g x 型问题 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理 练习2 若 kx 1对x 1 恒成立 则实数k的取值范围是 k 2 例3 若不等式x 2 a x y 对一切正数x y恒成立 则实数a的取值范围是 令 t 0 解 分离参数得 a 又令1 2t m m 1 则 f m a f x max 即a 当且仅当m 时等号成立 恒成立 则a t 0 恒成立 小结 4 通过分离参数 将问题转化为 f x 或 f x 恒成立 再运用不等式知识或求函数最值的方法 使问题获解 例 已知a 0 函数f x ax bx2 1 当b 1 证明对任意的x 0 1 f x 1充要条件是 b 1 a 2 2 当0 b 1 讨论 对任意的x 0 1 f x 1充要条件 x 0 1 b 1 bx 2 x 时取等号 故x 0 1 时原式恒成立的充要条件为 b 1 a 2 bx max b 1 x 1时取得 又bx 在 0 1 上递增 又x 0时 f x 1恒成立 x 0 1 时原式恒成立的充要条件为 b 1 a 2 故 bx min b 1 x 1时取得 2 0 b 1时 对x 0 1 f x 1恒成立 此时 bx max b 1 x 1时取得 故 式成立的充要条件为 b 1 a b 1 x 0 1 时原式恒成立的充要条件为 0 a b 1 而bx 在 0 1 上递减 又x 0时 f x 1恒成立 x 0 1 时原式恒成立的充要条件为 0 a b 1 又a 0 三 课时小结 2 二次函数型问题 结合抛物线图像 转化成最值问题 分类讨论 3 对于f x g x 型问题 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理 4 通过分离参数 将问题转化为 f x 或 f x 恒成立 再运用不等式知识或求函数最值的方法 使问题获解 1 一次函数型问题 利用一次函数的图像特征求解 4 已知f x xR 在区间 1 1 上是增函数 1 求实数a的值所组成的集合A 2 设关于x的方程f x 的两根为x1 x2 试问 是否存在实数m 使得不等式m2 tm 1 x1 x2 对任意aA及t 1 1 恒成立 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 更多资源 1 当x 0 1 时 不等式x2 loga x 1 恒