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4 3矩阵的微分与积分 矩阵的微分矩阵的积分其他微分概念应用 1 矩阵的微分 如果矩阵A t aij t Cm n的每个元素aij t 都是t的可微函数 则A t 关于t的导数 微商 定义为 定理1 设A t B t 可导 则 定理2 设A是n阶常数矩阵 则 2 矩阵的积分 如果矩阵A t aij t Cm n的每个元素aij t 都在 t0 t 上可积 则称A t 可积 记为 3 其他微分概念 a 函数对矩阵的导数 设X xij m n mn元函数f X 对X的导数定义为 例1设求 例3设A是n阶矩阵 x x1 xn T f x xTAx 求df dx 例2设b是n维列向量 x x1 xn T f x xTb 求df dx 例4设A Rm n b Rm 若x Rn使得 Ax b 2 min 则ATAx ATb 例5设X xij Rn n f X tr X 2 求 b 函数矩阵对矩阵的导数 设X xij m n 有rs个mn元函数fkl X 写成函数矩阵的形式 则F对X的导数定义为 例6设F x f1 x f2 x fl x 则 例7设A是一个常数矩阵 则 令 则可以写成矩阵形式 非齐次微分方程 齐次微分方程 4 应用 其中c是任意常向量 若再加上初始条件x t0 x0 则其解为 例8设矩阵 定理3 齐次微分方程的通解为 求满足x 0 101 T的齐次微分方程的解 其中x1 t etAc是对应齐次微分方程的通解 x2 t 是原非齐次微分方程的一个特解 常向量c由初始条件确定 如何计算一个特解 常向量变易法 即设 定理4 非齐次微分方程的通解可以表示为
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