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指数函数 一 问题引入 问题三 认真观察并回答下列问题 1 一张白纸对折一次得两层 对折两次得4层 对折3次得8层 问若对折x次所得层数为 则y与x的函数关系是 2 一根1米长的绳子从中间剪一次剩下米 再从中间剪一次剩下米 若这条绳子剪x次剩下y米 则y与x的函数关系是 问题1折纸问题问题2剪绳子问题 思考 观察上面两个函数 有没有共同特征 能否把它们归为一类 1 幂的形式2 幂的底数是一个正的常数3 幂的指数是一个变量 指数函数的概念 形如y ax函数叫做指数函数 指数自变量 底数 a 0且a 1 常数 当a 0时 ax有些会没有意义 如 2 0等都没有意义 而当a 1时 函数值y恒等于1 没有研究的必要 思考 为何规定a 0 且a 1 二 新课 关于指数函数的定义域 回顾上一节的内容 我们发现指数中p可以是有理数也可以是无理数 所以指数函数的定义域是R 问题2 如何画出指数函数的图像呢 问题1 你能类比前面讨论函数性质时的思路 提出研究指数函数性质的方法吗 研究方法 画出函数图象 结合图象研究函数的性质 研究内容 定义域 值域 单调性 最大 小 值 奇偶性 描点法 列表 描点 连线 1 4 1 2 1 2 4 4 2 1 1 2 1 4 y x 0 y 2x y 12345678 87654321 3 2 1 1 2 3 列表 画图 0 25 0 5 1 2 4 和的图象有什么关系 和的图象关于y轴对称 和的图象关于y轴对称 y f x 与y f x 的图像关于y轴对称 问题3 你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律 你能根据指数函数的图象概括 归纳指数函数的性质吗 练习 在同一坐标系中画出下列函数的图象 观察右边图象 回答下列问题 问题一 图象分别在哪几个象限 问题二 图象的上升 下降与底数a有联系吗 问题三 图象中有哪些特殊的点 答 四个图象都在第 象限 答 当底数 时图象上升 当底数 时图象下降 答 四个图象都经过点 顺 1 定义域为 值域为 0 2 图像都过点 0 1 当x 0时 y 1 4 是R上的增函数 4 是R上的减函数 3 当x 0时 y 1 x 0时 0 y 1 3 当x 0时 01 问题 你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗 练习 例1 已知指数函数f x ax a 0 且a 1 的图象经过点 3 求f 0 f 1 f 3 的值 1求下列函数的定义域值域 练习 函数y ax 3 2 a 0 且a 1 必经过哪个定点 练习 函数y ax 1 1 a 0 且a 1 必经过哪个定点 练习 若指数函数y 2a 1 x是减函数 求实数a的取值范围 指数函数的概念 形如y ax函数叫做指数函数 指数自变量 底数 a 0且a 1 常数 1 定义域为 值域为 0 2 图像都过点 0 1 当x 0时 y 1 4 是R上的增函数 4 是R上的减函数 3 当x 0时 y 1 x 0时 0 y 1 3 当x 0时 01 函数y ax 2 1 a 0 且a 1 必经过哪个定点 练习 例2 比较下列各题中两个值的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 方法引导 比较两数值的大小 常可以归结为比较两函数值的大小 所以需要我们能够恰当地构造函数 使两数值为同一函数的两个函数值 然后根据函数的单调性来比较大小 有时也需要借助中间量0 1来过渡 P59T7 练习2 此图是 y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 Aa b 1 c d Bb a 1 d c C1 a b c d Da b 1 d c 变式1 变式2 练习 1求下列函数的定义域值域 作业 二 新课 例2 求下列函数的值域 例3 求函数的单调区间 二 新课 同增异减 二 新课 求单调区间 例 3 当a 1时 讨论函数f x 的奇偶性和单调性 2 二 新课 要点梳理1 根式 1 根式的概念如果一个数的n次方等于a n 1且n N 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1且n N 式子叫做 这里n叫做 a叫做 指数与指数函数 基础知识自主学习 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号 表示 负的n次方根用符号 表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 a 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正整数指数幂 n N 零指数幂 a0 a 0 负整数指数幂 a p a 0 p N a 1 正分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q ar s ars arbr 0 没有意义 3 指数函数的图象与性质 R 0 0 1 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 增函数 减函数 基础自测1 已知a 则化简的结果是 A B C D 解析 C 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 A y x3B y x2 1C y x 1D y 2 x 解析因为y x3是奇函数 从而可排除A 因为函数y x2 1及y 2 x 在 0 上单调递减 所以排除B D C 3 右图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 A a b 1 c dB b a 1 d cC 1 a b c dD a b 1 d c 解析方法一当指数函数底数大于1时 图象上升 且当底数越大时 在第一象限内 图象越靠近y轴 当底数大于0且小于1时 图象下降 且在第一象限内 底数越小 图象越靠近x轴 故可知bd1 a1 b1 b a 1 d c 故选B 答案B 4 已知f x 2x 2 x 若f a 3 则f 2a 等于 A 5B 7C 9D 11解析 f x 2x 2 x f a 3 2a 2 a 3 f 2a 22a 2 2a 4a 4 a 2a 2 a 2 2 9 2 7 B 5 若函数y a2 3a 3 ax为指数函数 则有 A a 1或2B a 1C a 2D a 0且a 1解析 a 2 C 题型一指数幂的化简与求值 例1 计算下列各式 题型分类深度剖析 先把根式化为分数指数幂 再根据幂的运算性质进行计算 解 思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 探究提高 知能迁移1 解 题型二指数函数的性质 例2 12分 设函数f x 为奇函数 求 1 实数a的值 2 用定义法判断f x 在其定义域上的单调性 由f x f x 恒成立可解得a的值 第 2 问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可 思维启迪 解 1 方法一依题意 函数f x 的定义域为R f x 是奇函数 f x f x 2分 2 a 1 2x 1 0 a 1 6分 方法二 f x 是R上的奇函数 f 0 0 即 a 1 6分 2 由 1 知 设x1 x2且x1 x2 R 8分 解题示范 f x2 f x1 f x 在R上是增函数 1 若f x 在x 0处有定义 且f x 是奇函数 则有f 0 0 即可求得a 1 2 由x1 x2推得实质上应用了函数f x 2x在R上是单调递增这一性质 探究提高 10分 12分 知能迁移2设是定义在R上的函数 1 f x 可能是奇函数吗 2 若f x 是偶函数 试研究其单调性 解 1 方法一假设f x 是奇函数 由于定义域为R f x f x 即整理得即即a2 1 0 显然无解 f x 不可能是奇函数 方法二若f x 是R上的奇函数 则f 0 0 即 f x 不可能是奇函数 2 因为f x 是偶函数 所以f x f x 即整理得又 对任意x R都成立 有得a 1 当a 1时 f x e x ex 以下讨论其单调性 任取x1 x2 R且x1 x2 当f x1 0 即增区间为 0 反之 0 为减区间 当a 1时 同理可得f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 题型三指数函数的图象及应用 例3 已知函数 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 思维启迪 化去绝对值符号 将函数写成分段函数的形式 作图象 写出单调区间 写出x的取值 解 1 由已知可得其图象由两部分组成 一部分是 另一部分是 y 3x x 0 y 3x 1 x 1 向左平移1个单位 向左平移1个单位 图象如图 2 由图象知函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 由图象知当x 1时 函数有最大值1 无最小值 在作函数图象时 首先要研究函数与某一基本函数的关系 然后通过平移或伸缩来完成 探究提高 知能迁移3若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析数形结合 当a 1时 如图 只有一个公共点 不符合题意 当0 a 1时 如图 由图象可知0 2a 1 思想方法感悟提高1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01 x 时 y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 方法与技巧 3 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质与a的取值有关 要特别注意区分a 1与0 a 1来研究 2 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 失误与防范 一 选择题1 下列等式中一定成立的有 A 0个B 1个C 2个D 3个解析 定时检测 A 2 函数f x ax b的图象如右图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 A a 1 b1 b 0C 00D 0 a 1 b 0 解析由图象得函数是减函数 00 即b 0 从而D正确 答案D 3 已知函数y 4x 3 2x 3 当其值域为 1 7 时 x的取值范围是 A 2 4 B 0 C 0 1 2 4 D 0 1 2 解析y 2x 2 3 2x 3 2x 1 1 2 4 x 0 1 2 D 4 定义运算 a b 如1 2 1 则函数f x 2x 2 x的值域为 A RB 0 C 0 1 D 1 解析f x 2x 2 x f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 0 f x 1 C 5 若函数则该函数在 上是 A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值解析令u x 2x 1 则因为u x 在 上单调递增且u x 1 而在 1 上单调递减 故在 上单调递减 且无限趋于0 故无最小值 A 6 函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个 根据你的判断 a可能的取值是 A B C 2D 4 解析函数为偶函数 排除 又函数值恒为正值 则排除 故图象只能是 再根据图象先增后减的特征可知2a 3 1 即a 2 符合条件的只有D选项 故选D 答案D 二 填空题7 若f x a x与g x ax a a 0且a 1 的图象关于直线x 1对称 则a 解析g x 上的点P a 1 关于直线x 1的对称点P 2 a 1 应在f x a x上 1 aa 2 a 2 0 即a 2 2 8 设函数f x a x a 0且a 1 若f 2 4 则f 2 与f 1 的大小关系是 解析由f 2 a 2 4 解得a f x 2 x f 2 4 2 f 1 f 2 f 1 9 2009 江苏 已知函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 函数f x ax在R上是减函数 又 f m f n m n m n 三 解答题10 已知对任意x R 不等式恒成立 求实数m的取值范围 解由题知 不等式对x R恒成立 x2 x0对x R恒