南京仁辅教育高等数学试题1函数与极限.doc

第一章 函数与极限 一、 填空题1已知=1+cosx，则= 。2，则连续区间为 ，= ，= 。3 = 。4时，是的 阶无穷小。5=0成立的为 。6 。7，在=0处连续，则= 。8 。二、 单项选择题1设、是上的偶函数，是上的奇函数，则 所给的函数必为奇函数。（A）；（B）；(C)；（D）2，则当时有 。（A）是比高阶的无穷小； （B）是比低阶的无穷小；（C）与同阶无穷小，但不等阶；（D）3函数在x=0处连续，则= 。（A）； （B）； （C）1； （D）0。4数列极限 。（A）1； （B）-1； (C) ； (D)不存在但非。5则是的 。（A） 连续点； （B）可去间断点； （C）跳跃间断点； （D）振荡间断点。三、 计算下列极限1 2 3 4 5 6 7 8 四、 用极限定义证明。五、 试确定、之值，使 六、 利用极限存在准则求极限1。2设，且证明存在，并求此极限值。七、 讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。八、 设在上连续，且，证明在内至少有一点，使。第二章 导数与微分 一、填空题1已知，则= 。2存在且，则= 。3，则= 。4二阶可导，则= ；= 。5曲线在点 处切线与连接曲线上两点（0，1）（1，e）的弦平行。6，则 。7，则 ，= , 。8若，则= 。二、单项选择题1设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则= 。 （A）-1； （B）1； （C）-2； （D）3。2设在的某个邻域内有定义，则在=处可导的一个充分条件是 。（A）存在； （B）存在；（C）存在； （D）存在。3已知为可导的偶函数，且，则曲线在处的切线方程是 。（A）； （B）； （C）； （D）。4设可导，则= 。（A）0； （B）； （C） （D）5函数有任意阶导数，且，则= 。 （A）； （B）； （C）； （D）三、计算下列各题1，求。2求。 3，求。4，求。 5，求。6，求。7，在处有连续的一阶导数，求、。8设在处有连续的一阶导数，且，求。四、试确定常数、之值，使函数处处可导。五、证明曲线与（为常数）在交点处切线相互垂直。六、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气 球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少？七、若函数对任意实数、有，且 证明 。第三章 中值定理与导数应用 一、填空题1= 。2函数在区间 单调增。3函数的极大值是 。4曲线在区间 是凸的。5函数在处的阶泰勒多项式是 。6曲线的拐点坐标是 。7若在含的（其中），恒有二阶负的导数，且 ，则是在上的最大值。8在内有 个零点。二、选择题1函数有连续二阶导数且，则= 。 （A）不存在； （B）0； （C）-1； （D）-2。2设，则在内曲线 。（A） 单调增凹的；（B）单调减凹的； （C）单调增凸的； （D）单调减凸。3在内连续，则在处 。（A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）一定有拐点； （D）可能取得极值，也可能有拐点。4设在上连续，在内可导，则：在内，与：在上之间关系是 。（A）是充分但非必要条件。 （B）是必要但非充分条件。（C）是充分必要条件。 （A）不是充分条件，也不是必要条件。5设、在连续可导，且，则当，则有 。（A）； （B）；（C）； （D）。6方程在区间内 。（A） 无实根； （B）有唯一实根； （C）有两个实根； （D）有三个实根。三、求下列函数极限1 23 4四、证明下列不等式1 设，证明。 2 2. 当时，有不等式。五、已知，利用泰勒公式求。六、试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。七、设是满足 的实数，证明：方程 在内至少有一个实根。八、设函数和在闭区间上连续，在开区间内可导， 且。证明：至少存在一点，使 九、设在上可导，试证存在， 使 。十、设在闭区间上连续，在开区间内可导，试证：存在 ，使得 。十一、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。第四章 不定积分 一.填空题1. 2.3. 4. 5已知(x)=x,且，则(x)=_。6 _。二.单项选择题1. 对于不定积分 ,下列等式中 是正确的. (A)； (B)； (C)； (D)；2. 函数在上连续,则等于_. (A)； (B)； (C)； (D) 3. 若和都是的原函数,则_. (A)； (B)； C),(常数)； (D),(常数)；三.计算下列各题 1.； 2. ；3.； 4.；5.； 6.7. 8.9. 10.11. 12.13. 14. 15设 ，求 。四设,当0x0,=，证明： （1）.(x)2. (2).方程在区间（内有且只有一个根。六、 证明方程 =,在区间（0，+）内有且仅有两个不同的根。七、 求函数=的极值和它的图形的拐点。八、 证明：。第五章 定积分(2)一、 填空题1 。2如果函数在上的最大值与最小值分别为M与m，则有如下估计式: 。3设m为奇数，则= 。4= 。其中= 5比较积分大小 6 二、 判断题1 （ ）2 （ ）3 （ ）4 （ ）5由于被积函数为奇函数，因此有 ( )三、选择题1 （A）cosx （B） （C）-cos2x （D）2设在上连续，且 则 （A） （B）() （C） （D）3设= =,当x时，比是 无穷小（A）低阶 （B）高阶 （C）同阶不等价 （D）等价4. = (A) (B) (C) (D)5设连续函数满足：= 则= (A) (B)x+ (C) (D)+四、计算下列积分1 2. 3 4. 五、求连续函数满足：六、设f（x）=试讨论在x=0处的连续性与可导性七、设在上二阶连续可导，求证：八、设、在上连续，求证： 存在使得 第六章 定积分的应用 (1)一、 求抛物线y=-x2+4x-3及其在（0，3）和（3，0）处的切线所围图形的面积。二、 求双纽线r2=a2sin2所围图形的面积。三、 求由x=2t-t2,y=2t2-t3所围图形的面积。四、 求由平面图形y=cosx-sinx，y=0()绕X轴旋转的旋转体体积。五、 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱及y=0绕X轴旋转的旋转体体积。六、 一立体图形，其底面由星形线所围成，用垂直于x轴的平面去截时，截面都是正方形，求它的体积。七、 用定积分方法证明椭球的体积V=。八、 求曲线y=ln(1-x2)()的长。九、 求曲线r=asin3的长，。十、 求曲线y=1+asint,x=2+asint的长。十一、 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需作功多少？十二、 有一等腰梯形闸门，它的两条边底各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面平齐，门面与水面垂直，计算闸门一侧所受的水压力。十三、 求y=在-3，3上的平均值。十四、 已知交流电流I=Imsin100在上的有效值为4，求Im.第六章 定积分的应用 (2)一、 求抛物线y2=4(x+1)与抛物线y2=4(1-x)所围图形的面积。二、 求两椭圆 （a0,b0）公共部分的面积。三、 若曲线y=cosx ()与X轴，Y轴所围成的圆形被曲线y=asinx,y=bsinx,(ab0),分成面积相等的三部分，试确定a,b的值。四、 设曲线y=x2-2x+4在点M（0，4）处的切线与曲线y2=2(x-1)所围成的图形为A求：（1） A的面积；（2） 将A绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。五、 设x2+(y-a)2 16 (a4)绕X轴旋转一周的旋转体的体积为160，求a .六、 证明：曲线y=sinx上相应于x从0变到的一段弧长等于椭圆：2x2+y2=2的周长。七、 已知两点A（a,0）B(0,a)在星形线x=acos3t y=asin3t ()上，求点M使 =八、 一块边长为3、4、5m，重500kg，面密度均匀的三角形钢板，水平放置，求将此钢板竖立在3m边上需做多少功。九、 一底为8cm,高为6cm的等腰三角形膜片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力。第九章 重积分一、填空题1 交换得 2 求曲线所围成图形的面积为 ，（a0）3 设D为围成闭区域，则化为化为极坐标下的二次积分的表达式为 4 设：，则= 二、 选择题1 设积分区域D：是圆环：则二重积分= （A） （B） （C） （D） 2.下列结果中正确的是（ ）（A） 若D：，D1：，x,y0则=4（B） 若D：，D1：，x,y0则=4（C） 二重积分的几何意义是以Z=f(x,y)为曲顶，以O为底的曲顶柱体的体积。（D） ：，Z0，：，则三、 设I=，J=比较I与J的大小并说明理由。四、 计算五、 计算其中D为椭圆区域：六、 设f(x)在0,1上连续，求证： 七、 求平面Z=上M0（1，-1，3）的切平面与曲面Z=所围成的空间区域的体积。八、 计算，为平面曲线绕Z轴旋转一周形成的曲面与平面Z=8围成的区域。第十章 曲线积分与曲面积分 一、 填空题1设L是XOY平面上沿顺时针方向绕行的闭曲线，且，则L所围成平面区域D的面积等于 。2（）是某个二元函数的全微分，则a,b的关系为 。3设L是圆周，取顺时针方向，则与的大小关系是 。4设P(x,y,z)在空间有界闭区域V上有连续的一阶偏导数，又是V的光滑边界曲面之外侧，由Gauss公式= 。5设是球面的外侧，则= 。二、 选择题1已知为某个函数的全微分，则a等于（ ）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导函数，且=0，则=（ ）（A） （B） （C） （D）13 设S是平面x+y+z=4被柱面截出的有限部分，则的值为（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、计算1计算，L为（0，0）设到（2，2）的弧度。2 L为圆周，求3 计算，L为取逆时针方向。4 ，为柱面。5计算，为椭圆面的外侧。四、过点O（0，0）和A（，0）的曲线族中求出一条曲线L使沿该曲线从O到A的积分的值最小。五、设函数f(x)在内具有一阶连续导数，L是y0是的有向分段光滑曲线，起点A（1，2），终点B（4，），记（1）、求证：曲线积分与I的路径无关。 （2）、计算I的值。第十一章 无穷级数 一、 判断题1若收敛，则。 （ ）2若收敛，发散，则发散。 （ ）3级数加括号后不改变其敛散性。 （ ）4级数收敛的充要条件是前n项和的构成的数列有界。 （ ）5若正向级数收敛，则级数也收敛。 （ ）6.若，且则和有相同的收敛性。 （ ）二、 选择题1 当收敛时，与（ ） （A）必同时收敛。（B）必同时发散（C）可能不同时收敛 (D）不可能同时收敛2 级数收敛是级数收敛的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（B）充要条件 （D）既非充分也非必要条件3为任意项级数，若且，则该级数（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定4关于，则=（ ）（A） （B）2 （C） （D）0三、 填空题1 幂级数的收敛区间为 。2 级数当a满足条件 时收敛。3 幂级数的收敛半径为 。4 若则= 。5 的麦克劳林级数为 。四、 判断下列级数的敛散性。1 2. 3 4.五、 判断下列级数的敛散性，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。1 2. 六、 求下列幂级数的收敛区间。1 2. 七、 将下列函数展成在指定点的幂级数，并求出其收敛区间。1处） 2.=1处）八求级数在收敛区间内的和函数，并求的和。九 求证：十 将展成傅立叶级数。第十二章 微分方程 (1)一、 填空题1已知曲线y=y(x)过点（0， ）且其上任一点（x,y）处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)= 2以为通解的微分方程是 （其中为任意常数）3。微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解为 4微分方程的通解为 5已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,ex,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题已知函数y=f(x)在任意点x处的增量y=且当xo时，是比x更高阶的无穷小量，y(o)=，则y(1)等于 （A）2 （B） （C） （D）2 y=y(x)是微分方程的解，且，则f(x)在 （A） x的某个邻域内单调增加 （B）x的某个邻域内单调减少（C）x处的取极小值 （D）x处取极大值3一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p处的切线在y轴上的截距等于原点到p的距离，则此曲线方程为 （A）（B）（C）（D）4下列方程中可利用,降为p的一阶微分方程的是 （） （）（C） (D) 三、求解下列微分方程1.求ydx+(x2y-x)dy=0，满足的特解，2.求的通解四、求的通解。五、已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y满足：f(x+y)=,求此函数f(x).七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b为常数，v为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).第十二章 微分方程 (2)一、单项选择题设y=是方程的解，若则在点 （A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；函数是方程的 （A）通解；（B）特解；（C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对微分方程的特解应具有形式（其中，a,b,c为常数） （A） （B） （C）a+bcos2x; (D) ax2+bcos2x+csin2x4.微分方程特解应具有形式 （A）（Ax+Bx）e3x (B)x(Ax+B)e3x （C）x2(Ax+B)e3x （D）Ax3e3x5.设一动点以等加速度a作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s