线性代数 线性方程组习题课 - ppt课件.ppt

线性代数 向量线性方程组典型例题 线性方程组习题课 2 任一n维向量都是Rn的基本单位向量组的线性组合 1 是的线性组合 可由线性表示 有解 组合系数就是方程组的一个解 3 一 向量 有非零解 无 只有零解 r n r n 5 线性相关 4 重要结论 行变换不改变列向量间的线性关系 可否由线性表示 竖排行变换 放末列 是否线性相关 竖排行变换 线性无关 任一向量都不能由其余向量线性表示 定理3 部分相关 则整体相关 整体无关 则部分无关 定理4 短无关 则长无关 长相关 则短相关 定理1 n个n维向量线性相关 线性无关 不为0 定理2 向量个数 向量维数 其排成的行列式值为0 向量组线性相关 定理8 向量组与其极大无关组等价 推论向量组的任意两个极大无关组等价 定理7 向量组 I 可由 II II 可由 线性表示 向量组 I 可由 线性表示 定理9向量组可由线性表示 若t s 则向量组线性相关 定理10 推论 等价的向量组秩相等 可由线性表示 推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等 推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 定理11矩阵A的行秩 列秩 秩 重要结论 行变换不改变列向量间的线性关系 定理1设非齐次方程组Am nX b 则 返回 有解判定定理 二 线性方程组 推论1当齐次线性方程组方程个数m 未知数个数n时 必有非零解 定理2设齐次方程组Am nX O r A r 则 1 r n 原方程组有唯一零解 2 r n 原方程组有非零解 有无穷多组解 推论2若齐次方程组An nX O系数行列式 A 0 则必有非零解 齐次线性方程组有非零解 解的判定定理 1 齐次线性方程组解的性质 1 两解之和仍是解 2 常数乘以解仍是解 一般地 解的线性组合仍是解 导出组 2 非齐次线性方程组解的性质 1 1 的两解之差是其导出组的解 2 1 的一解与其导出组的一解之和仍是 1 的解 解的性质定理 1 齐次线性方程组解的结构 定义 齐次线性方程组解向量组的一个极大无关组称作齐次线性方程组的一个基础解系 定理3对齐次线性方程组 2 若r A r n 则基础解系存在 且均含n r个解 齐次线性方程组 2 当不存在基础解系 r A n时只有零解 当r A r n时 有 解的结构定理 2 非齐次线性方程组解的结构 定理2若是非齐次线性方程组 1 的一个解 是其导出组 2 的全部解 则方程组 1 的全部解 通解 一般解 为 k1 k2 kn r为任意常数 三 典型问题剖析 例1设A是m n矩阵 则线性方程组AX 0只有零解的充要条件是A的 A 行向量组线性无关 B 行向量组线性相关 C 列向量组线性无关 D 列向量组线性相关 若 例2设矩阵A的伴随矩阵不为零 是非齐次线性方程组AX b的互不相等的解 则对应的齐次方程组AX O的基础解系 A 仅含一个非零解向量 B 含有两个线性无关的解向量 C 不存在 D 含有三个线性无关的解向量 练习卷P23第二题第3题 练习卷P23第二题第5题 例3 94考研 设向量组 求向量组的一个极大无关组 向量组的秩 并写出其余向量用该极大无关组的线性表达式 r 3 答案 例4 95考研 已知向量组 I II III 如果各向量组的秩分别为r I r II 3 r III 4 证明向量组的秩为4 线性无关 线性相关 可由线性表示 证 设 练习卷P25第四题第6题 线性无关 k1 k2 k3 k4 0 线性无关 请思考本题的其他解法 例5设为非齐次线性方程组AX b的一个解 是其导出组AX 0的一个基础解系 证明 线性无关 练习卷P25第四题第4题 思考 练习卷P28第六题 例6设 证明 向量组与等价 思考 设是齐次线性方程组AX 0的一个基础解系 证明 也是该方程组的一个基础解系 练习卷P25第四题第5题 练习卷P25第四题第2题 例7a取何值时 下列线性方程组无解 有唯一解 有无穷多解 在方程组有解时 求出它的解 练习卷P23第三题第2题 例8已知向量组与的秩相等