直线与平面垂直的性质.ppt

直线与平面垂直的性质定理 直线和平面垂直的定义 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直 我们说这两条直线和这个平面互相垂直 直线和平面垂直的判定定理是 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 唯一性 一 m A 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 唯一性 二 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直 m A B 线线平行的性质定理如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于同一个平面 相关数学语言为 若a b 且a 则b 这个可以当作直线和平面垂直的另一个判定定理 现在请同学们改变这个定理的题设和结论 写出它的逆命题 我们能否从另一个角度来证明 比如 a b不平行会有什么矛盾 这就是我们提到过的反证法 已知 a b 求证 a b 分析 a b是空间中的两条直线 要证明它们互相平行 一般先证明它们共面 然后转化为平面几何中的平行判定问题 但这个命题的条件比较简单 想说明a b共面就很困难了 更何况还要证明行 您知道用反证法证明命题的一般步骤吗 否定结论 推出矛盾 肯定结论 证明 假定b与a不平行设b O b 是经过点O与直线a平行的直线 a b a b 经过同一点O的两条直线b b 都垂直于平面 是不可能的 因此 a b 学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理 我们再来看看点到平面的距离的定义 两条直线同时垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 直线和平面垂直的性质定理 从平面外一点引一个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 已知 一条直线l和一个平面 行 求证 直线l上各点到平面 的距离相等 分析 首先 我们应该明确 点到平面的距离定义 在直线l上任意取两点A B 并过这两点作平面 的垂线段 现在只要证明这两条垂线段长相等即可 证明 过直线l上任意两点A B分别引平面 的垂线AA1 BB1 垂足分别为A1 B1 AA1 BB1 AA1 BB1 直线与平面垂直的性质定理 设经过直线AA1和BB1的平面为 A1B1 l l A1B1 AA1 BB1 直线与平面平行的性质定理 即直线上各点到平面的距离相等 我们再来学习直线和平面的距离的定义 本例题的证明 实际上是把立体几何中直线上的点到平面的距离问题转化成平面几何中两条平行直线的距离问题 这种把立体几何的问题转化成平面几何的问题的方法 是解决立体几何问题时常常用到得法 一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到平面的距离 叫做这条直线和平面的距离 2 思考安装日光灯时 怎样才能使灯管和天棚 地板平行 本题仿照例题2方法很容易证明 但以下的论述却是假命题 你知道是为什么吗 直线l上A B两点到平面 的距离相等 那么l 只要两条吊线等长 转化为数学模型是 如图1 76已知 直线l上A B两点到平面 的距离相等 求证 l 3 如图1 77 已知E F分别是正方形ABCD边AD AB的中点 EF交AC于M GC垂直于ABCD所在平面 1 求证 EF 平面GMC 2 若AB 4 GC 2 求点B到平面EFG的距离 分析 第1小题 证明直线与平面垂直 常用的方法是判定定理 第2小题 如果用定义来求点到平面的距离 因为体现距离的垂线段无法直观地画出 因此 常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题 解 1 连结BD交AC于O E F是正方形ABCD边AD AB的中点 AC BD EF AC AC GC C EF 平面GMC 2 可证BD 平面EFG 由例题2 正方形中心O到平面EFG 六 练习1 已知矩形ABCD的边长AB 6cm BC 4cm 在CD上截取CE 4cm 以BE为棱将矩形折起 使 BC E的高C F 平面ABED 求 1 点C 到平面ABED