圆映射的同步与锁模.ppt

圆映像 circlemap 2012 3 16 同步与锁频的概念 同步 Syncronazation 与锁频 frequency locking 是指两个或数个振子间的同步振动现象 线性振子振动方程 三个特征量 振幅A 频率 与相位 频率是固有的 振幅与相位决定于初始条件 非线性振子 三个特征量 振幅 频率与相位都与系统紧密相关的 并且最终达到的振动状态与初始条件无关 如果两个非线性振子间发生耦合 就会发生 一个振子的状态依赖于另一个振子的振幅 或者一个振子的振动频率锁定在另一个振子的振动频率上 或者两个振子同步地以一个共同的频率振动 同步与锁频 设 1与 2为两个振子固有频率 P与Q互为质整数 当改变系统参数使 或有理数说明一个振子与另一振子出现了同步 称为锁频 Frequency locking 也称锁相 Phase locking 同步与锁频是存在耦合的多个非线性振动系统的固有特性 因此锁频有一定的范围 范围大小与两个振子间的耦合强度有关 如果耦合很弱 锁频范围很小 两个振子基本上在独立振动 大多数振动频率运动是非锁频的 它们处于准周期 Qusi priodicity 或称拟周期 运动状态 随着耦合的增强 锁频范围增大 两振子的振动便密切相关 发生锁频 当耦合强度达到某个阈值之后便可能进入混沌状态 这是与倍周期分岔或阵发性混沌不同的的进入混沌的道路 称为准周期道路 圆映射 阿诺德在1965年为考虑非线性耦合振子的锁频的映像引入了映像 正弦圆映像 这映射叫做标准映射 standardmap 它含有K 两个参量 K代表非线性耦合的强度 则代表两个振动的频率之比 1 当不考虑标准圆映射中的非线性项时 K 0 则标准圆映射简化为线性映射 2 由于正弦函数是非线性的 当K 0就是存在非线性时的迭代情况 标准映射迭代运算 1 K 0线性情况先取 2 5 0 4 为有理数 初始值q0 0 3出发 得经过五次迭代 轨线绕了两圈后回到原处 这是周期解 反映两个系统处于同步状态 再选无理数 0 40404 与0 4很接近 但迭代总不能精确地回到原处 轨线不会闭合 这是准周期运动 说明在线性情况下无理数参数 不使两个系统出现同步现象 2 非线性情况设K 0 95 参数 为无理数频率 0 40404 初始值 0 0 4 在经过了五次迭代绕了两圈以后回到了出发点 可见在非线性的情况下 即使参数 为无理数频率也可以实现轨线闭合 出现了周期解 达到了同步状态 说明非线性可使两个系统间的同步范围加宽 标准映射迭代运算 引进每次迭代的平均增量以具体地描述两个不同频率系统间的同步 称卷绕数 在线性情况下 W W 两者同为有理数或无理数 在非线性情况下 若W为无理数 W可锁定在与W接近的有理数 上图是正弦圆映像k在三种情况下的映像函数 k 0时 得到容易想到映像函数是一条斜率为1的直线 为有理数时演示周期运动 迭代走过圆上有限个点后重复 为无理数时演示准周期运动 迭代遍历整个圆 a 图映像函数单调可逆且处处光滑 曲线的平均斜率等于1 因此运动只可能是周期或准周期的 b 图映像函数出现一个三阶拐点 即将出现不可逆性 c 图映像函数出现一个值域上的重迭区O 函数连续但不可逆 曲线的平均斜率绝对值大于1 如果出现遍历性轨道 其李雅普诺夫指数一定大于0 系统行为是混沌的 上图是逆圆映像 a 图映像函数单调 可逆且处处光滑 曲线平均斜率等于1 因此运动只可能是周期或准周期的 b 图是向不连续过度的临界情况 这时斜率趋于无穷大 出现一个奇点 c 图根据张弛振荡性质取最小一个值 因此C区成为一个禁区 由任何一个初值出发的迭代都不能达到C区域 这时函数可逆但不连续 曲线的平均斜率小于1 如果有遍历性 李雅