机器人概论 第二章机器技术数学基础.ppt

第二章 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示2 2坐标变换2 3齐次坐标变换2 4物体的变换 机器人位置和姿态的描述 机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上 另一端是自由的 安装工具 用以操纵物体 人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述 也就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系 机器人技术数学基础 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示1 位置描述在直角坐标系A中 空间任意一点p的位置 Position 可用3x1列向量 位置矢量 表示 2 方位描述空间物体B的方位 Orientation 可由某个固接于此物体的坐标系 B 的三个单位主矢量 xB yB zB 相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述 2 1位置和姿态的表示 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示上述矩阵称为旋转矩阵 它是正交的 即 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示重合时 机器人技术数学基础 若坐标系B可由坐标系A 通过绕A的某一坐标轴获得 则绕x y z三轴的旋转矩阵分别为 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转 其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义 1 可以表示固定于刚体上的坐标系 B 对参考坐标系的姿态矩阵 2 可作为坐标变换矩阵 它使得坐标系 B 中的点的坐标变换成 A 中点的坐标 3 可作为算子 将 B 中的矢量或物体变换到 A 中 机器人技术数学基础 2 1位置和姿态的表示3 位姿描述刚体位姿 即位置和姿态 用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示 即 机器人技术数学基础 2 2坐标变换平移坐标变换坐标系 A 和 B 具有相同的方位 但原点不重合 则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式 机器人技术数学基础 2 2坐标变换2 旋转变换坐标系 A 和 B 有相同的原点但方位不同 则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系 机器人技术数学基础 2 2坐标变换3 复合变换一般情况原点既不重和 方位也不同 这时有 机器人技术数学基础 2 2坐标变换例2 1已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合 首先 B 相对于 A 的ZA轴转30 再沿 A 的XA轴移动12单位 并沿 A 的YA轴移动6单位 求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR 设点p在 B 坐标系中的位置为BP 3 7 0 求它在坐标系 A 中的位置 如用四个数组成的 4 1 列阵 表示三维空间直角坐标系 A 中点p 则列阵 PxPyPz1 T称为三维空间点P的齐次坐标 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换 式中 a wpx b wpy c wpzw为比例系数 显然 齐次坐标表达并不是唯一的 随w值的不同而不同 在机器人的运动分析中 总是取w 1 P 3451 T 68102 T 3 4 5 1 T齐次点 a b c w 被投射回复到三维时简单地就是 a w b w c w 将比例因子w去除 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换 几个特定意义的齐次坐标 0 0 0 n T 坐标原点矢量的齐次坐标 n为任意非零比例系数 1000 T 指向无穷远处的OX轴 0100 T 指向无穷远处的OY轴 0010 T 指向无穷远处的OZ轴 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换1 齐次变换可以写为 P点在 A 和 B 中的位置矢量分别增广为 而齐次变换公式和变换矩阵变为 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换2 平移齐次坐标变换 A 分别沿 B 的X Y Z坐标轴平移a b c距离的平移齐次变换矩阵写为 用非零常数乘以变换矩阵的每个元素 不改变特性 例2 3 求矢量2i 3j 2k被矢量4i 3j 7k平移得到的新矢量 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换3 旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换引入齐次变换后 连续的变换可以变成矩阵的连乘形式 计算简化 例2 4 U 7i 3j 2k 绕Z轴转90度后 再绕Y轴转90度 例2 5 在上述基础上再平移 4 3 7 机器人技术数学基础 2 3齐次坐标变换由矩阵乘法没有交换性 可知变换次序对结果影响很大 机器人技术数学基础 2 4物体的变换1 物体位置描述物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述 物体的变换也可通过这些特征点的变换获得 机器人技术数学基础 2 4物体的变换及逆变换1 物体位置描述 机器人技术数学基础 2 4物体的变换2 齐次坐标的复合变换 B 相对于 A ABT C 相对于 B BCT 则 C 相对于 A 机器人技术数学基础 2 4物体的变换3 变换方程初步 B 基坐标系 T 工具坐标系