高量5--量子数l的升降算符.ppt

1 由此可证明对体系任意态矢量都成立 8 3量子数l的升降算符 一 升降算符的寻找 根据讨论升降算符的经验 若R 不是矢径 是使 lm 中l改变1而m保持不变的算符 则可令 这样就有 2 同理 当a 2l时 注意到当a 2 l 1 时 利用上式可得 即之间满足下列对易关系 3 利用上述本征方程的意义 可以将R lm 写为 可见R对于 lm 的作用有关于量子数l上升算符和下降算符的性质 设上升算符记为R 下降算符记为Q 则有 下面看R Q到底是什么形式 4 与式比较 形式上多了第一项 注意方向算符N与L2的对易关系 另外由式得 从这两式可以看出 若取一个矢量 选择适当的b c 有可能使R满足式 经过试验发现正好满足上式 5 比如对分量 因为 则有 当然可以验证 等不满足上式对易式 所以正是我们要寻找的的量子数的上升和下降算符 6 二 算符R Q各分量对 lm 的作用 估计与升降算符有关 令 很容易证明 例如证明第一式 7 同我们意料到的一样 分别是l的上升和下降算符 而且分别是m的上升算符 是m的下降算符 可用下述公式表示 以及前面所得到的公式 8 可用计算出R Q对 lm 的作用结果 特别提示 在求R Q对 lm 的作用时 要用到下述已知的公式 1 R Q的分量表示 2 以及对 lm 的作用公式 3 以及对 lm 的作用公式 9 推导过程相对复杂一些 这里只给出结果 10 8 4球谐函数 下面取位置表象 求轨道角动量本征矢量 lm 的具体表达式 一 位置表象中轨道角动量算符的表示 此时R 即成为相乘算符 对有 11 方向算符N对态函数的作用是一个相乘算符 而 注意 以上这些算符等式 只有左右双方作用在任意态函数上才成立 而且都是对部分作用的 与r无关 方向算符是相乘算符 作用起来很方便 而 12 二 轨道角动量本征函数的计算 1 本征函数所满足的基本方程 轨道角动量本征函数在位置表象中记为 所满足的方程可记为 通常方法是解上述微分方程得到 但实际上知道了一个具体的 利用升降算符作用即可得到其它了 13 2 本征函数的求解 1 求 取l m 0 所满足的方程就写为 容易看出第二式的通解为 只对求导 将此式代入第一式得 14 此方程的通解为 因为在附近有限 必须取 所以 即 利用归一化条件 很容易得到 15 利用方向算符可依次得出 16 下面举例证明第一式 利用 有 所以 17 与此类似 利用 可由得出 得到了这两个公式之后 只要用依次对作用 或用依次对作用 就可得出l固定的全部 这样 18 19 类似地 用依次对作用 可得 利用教材中所证明的公式 这里不再证明 可把写成两种形式 前面已经用分别得出 20 它们是轨道角动量的共同本征函数的普遍表达式 21 由于以上两式是从l 0出发得出的 所以式中l只能取零及所有整数 故m也只能取整数 即 在数学上称为球谐函数 全部球谐函数在单位球面上对于单值有限的任何函数构成完全函数组 前几个球谐函数是 22 23 2 自旋空间 8 6自旋和自旋波函数 一 自旋空间 1 自旋 粒子的自旋态是粒子的内禀状态 与经典的 旋 是两个概念 自旋无法用以前全基于位形空间Hilbert空间的矢量来描述 必须另外建立一个描述自旋态的矢量空间 这个空间我们称之为自旋空间 24 而以前讨论的抽象的Hilbert空间或函数空间可以称之为位置Hilbert空间或位置空间 完整地描述单粒子态的Hilbert空间是这两者的直积空间 3 自旋角动量算符S S是个矢量厄米算符 其分量服从角动量的对易关系 通常取作为对易算符的完备组 其共同本征矢量为 即有 25 其中 4 自旋量子数的取值 自旋与轨道角动量量子数在数值上有不同的特点 1 非复合粒子 自旋量子数s只能取一个值 比如 1 电子s 1 2 26 2 在基本稳定的粒子态中 所有的轻子和以外的所有重子s 1 2 3 s 3 2 4 介子s 0 5 光子s 1 2 复合粒子 1 粒子基态s 0 2 氘核基态s 1 3 Li核基态s 3 2 复合粒子自旋量子数有时可以发生变化 27 基矢个数确定维数 与自由度要区分开 5 自旋空间的维数 对于s 0的粒子 完全不用讨论自旋 或者说其自旋空间是一个1D空间 其中只有一个自旋态 s 0 m 0 对非相对论量子力学的主要对象 电子来说 s 1 2 m只能取两值 自旋空间是2D的 一般情况下自旋空间维数是2s 1维 为什么 28 二 自旋算符的对易及反对易关系 讨论s 1 2的粒子 以电子为例 其突出特点是 自旋在任意方向上的分量只能取 即 即角动量平方及各分量平方算符是一个数算符 这可以导致一个特有的关系 29 将此式两边左乘和右乘 得 两式相加 得 由得 30 即自旋三个分量的算符彼此是反对易的 这是自旋1 2粒子所特有的关系 一般地有 或写成 由前面的讨论可知 是带有量纲的数 它与任何算符都对易 31 三 自旋算符和自旋态矢量 1 表象 在单电子的2D自旋空间中 通常采用表象 即取的共同本征矢量为基矢 将算符和态矢量分别写成矩阵和一列矩阵形式 此时基矢矩阵形式可以写为 32 任意自旋矢量可以写为 归一化要求 此时左边第一项为处于态的电子的概率 第二项为的概率 2 泡利矩阵 自旋算符 在表象中 本身是一个对角矩阵 即 33 与满足对易关系的的最一般形式为 是任意实数 习惯上取 0 称为国际通用的自旋矩阵 若令 则 34 称为泡利矩阵 显然其分量算符满足关系 3 自旋态矢量 单电子的态矢量可以写成直积形式 35 或者写成xyzSz表象的函数形式 式中 36 归一化条件是 亦即 此式左方第一个积分是电子不问位置 自旋取正的概率 第二项是自旋取负的概率 37 11运动方程 11 1Schr dinger方程 一 一般形式 此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒子等所有情况 根据量子力学基本原理4 微观体系的状态随时间的变化规律满足下列Schr dinger方程 当单粒子有自旋时 波矢量和哈密顿分别是位形空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符 38 系统运动方程取决于系统本身的情况和外部环境 而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场 当系统的线度不大时 外加的宏观电磁场可以看成是均匀的 但可随时间变化 哈密顿中的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化 二 具体形式 1 空间运动部分 这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿H x p t 得到 只要将其中的x和p换成粒子的位置和动量算符 即可得到哈密顿算符 如电磁场中的带电粒子 39 经典哈密顿量为 V是其它因素对哈密顿的贡献 故单粒子的哈密顿算符为 其中 为方便起见 以后算符上不再加算符符号 40 有 对于均匀磁场B 矢势A可以写成 此式证明如下 41 利用公式 当时 而为均匀磁场 42 但 而 这是我们经常使用的公式 它说明了矢势同矢径和磁场的关系 43 右方第二项成为 而电磁波是横波 即有 且式 式中为粒子的角动量算符 于是单粒子的哈密顿可以写成 44 由此可定义单粒子的轨道磁矩算符 在L的本征态 lm 中 轨道磁矩的大小及其z分量取确定值 例如对电子有 称为玻尔磁子 其中 式中A2项由于数量级小 往往可以略去 45 2 有关自旋的项 对H中与自旋有关的项 由于没有经典类比 无法从经典分析力学中得出 应该利用电子自旋磁矩的实验值 写出对能量的贡献 加在下式中 通常将用代替 这时电子的自旋磁矩算符为 在自旋表象下 这是一个矩阵的矢量算符 46 例如 哈密顿中自旋在外磁场B中的能量附加项为 另外 一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能 即旋轨耦合 例如对类氢离子中电子为 讨论原子问题时 常在哈密顿中加上由自旋引起的能量 这些都相当于在哈密顿中V这一项 47 3 含有自旋的薛定谔方程 在表象下 含有自旋的薛定谔方程可以写为如下的泡利方程 式中都是x y z t的函数 48 11 2演化算符 方程 是时间的一阶微分方程 初态给定 原则上可以知道任意时刻的状态 由此可定义一个演化算符U t t0 使其满足 将上式代入薛定谔方程中 得 显然 U t t0 的具体形式取决于薛定谔方程中的H 此式对同一系统的一切初态都成立 49 于是得演化算符满足的微分方程为 当H中不显含时间时 此式在的初始条件下的解为 故可知态矢量的归一化性质不随时间改变 即若是归一化的 则对一切时间都是归一化的 这就是当H中不显含时间时演化算符的具体形式 是一个幺正算符 哈密顿显含时间的演化算符不再介绍 50 11 3绘景变换 量子力学中的各种关系式 可以直接用矢量和算符表示 也可以取不同的表象用矩阵表示 不同表象中的矢量和算符 通过一个不含时的幺正矩阵联系起来 一个关系式在不同表象中的形式是完全等价的 现在取一个含时间的幺正算符U t 作用在所有的矢量和算符上进行幺正变换 这样会得到与原来的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系 但其形式会发生较大的变化 这种变换叫 51 改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换 使得在新的绘景下 某一问题的解决更方便一些 我们说 幺正变换U t 使我们得到量子力学关系式的另一个绘景 二 薛定谔绘景 Schr dingerpicture 到目前为止 我们所用的绘景没有经过幺正变换 称之为Schr dinger绘景 SP 为了同新绘景相区别 我们把为Schr dinger绘景中的矢量和算符写成的形式 在这个绘景中态矢量是含时的 服从Schr dinger方程 一 绘景变换 52 而一般算符则不含时 一些含时微扰除外 这样 在Schr dinger绘景中还可以取各种表象 represen tation 每一种表象都同一组特定的基矢相联系 而基矢是不含时的 设想去看Hilbert空间 则应看到 描写状态的态矢量是按照一定规律运动的 而每一组基矢是静止的 态矢量的各种表象 不论写成矩阵的形式 还是写成函数的形式 都是随时间变化的 因为它们是运动的态矢量在静止的基矢上的分量 展开系数是含时的 53 注意 与基矢的幺正变换相区别 11 4海森堡绘景变换 Heisenbergpicture 一 Heisenbergpicture HP 1 定义 当系统的哈密顿不含时时 可以保持Hilbert空间中基矢框架不动 将连同所有描写物理量的算符全部进行一个含时的幺正变换 这种描述方式就是HP 幺正变换选用这个系统的演化算符U t 0 的逆算符取进行 即含时幺正算符是 54 式中是这个系统的SP中的哈密顿 若本身含时间 则上式不成立 无法建立HP 2 HP绘景中的态矢量和算符 SP中的态矢量和算符经过上述含时幺正算符的作用后所得的新的态矢量和算符就是HP中的态矢量和算符 记为 55 注意 哈密顿算符在此两个绘景中是一样的 为什么 3 Hersenberg方程 HP的特点是 态矢量不随时间改变 因为幺正变换把任意时刻态矢量都变回初态的态矢量 而在HP中描写物理量的算符则是随时间变化的 即 56 于是得 此式就是在HP中的运动方程 它描写了算符随时间变化的规律 称为Heisenberg方程 由算符的变换方程得 此式仅对哈密顿成立 所以可将H算符右上角表示绘景的标记略去 注意HP的选取是与系统的哈密顿有关的 哈密顿不同 将得到不同的HP 57 1 定义 二 守恒量 可知 当系统的H不含时间时 若HP中的算符也不随时间改变 即 则A称为守恒量 显然 A是守恒量的条件是 可以发现 不含时的哈密顿本身是一个守恒量 事实上 由于 对守恒量A来说 有 由式 58 用B代表完备组中其余算符 则此厄米算符完备组可以写为 2 守恒量的性质 由初等量子力学基础我们已经知道 守恒量在系统的任意含时态中取各值的概率不随时间改变 这里重新证明如下 证 守恒量既然同H对易 那么含有的一组厄米算符完备组中一定含有H 其共同本征矢量可以写成 将系统的态矢量按照这套本征矢量展开 59 其中 可见中是不含时的 而物理量在中取值的概率是 于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关 由此性质又可得出下面几条结论 60 1 守恒量A在系统任意状态中平均值不随时间改变 即 2 若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值 则在此以后 以及此前 的任意时刻均取相同的确定值 3 说明 量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量的区别 经典力学中 系统运动时守恒量总取确定值 若同时有几个守恒量 则都各自取确定值 量子力学中 守恒量不一定取确定值 若两个守恒量A B互不对易 则根本不存在二者都取确定值的状态 61 三 对HP的直观理解 设在Hilbert空间中取一组厄米算符完备组K 用其本征矢量建立一组基矢作为一个固定框架 就是说 HP中可以建立各种表象 态矢量写成矩阵形式 这些列矩阵都是不含时的 某系统的状态是不含时的 而就是在HP中的K表象 这也是不含时的 也可以换个角度看 保持基矢组不动 再复制一组与一样的基矢组 让这组新的基矢在t 0时刻与原来的基矢完全重合 而在t增加时开始动起来 成为动基矢组 62 我们规定动基矢组的运动规律与系统的态矢量运动规律一样 即 这样就成为空间中一组动的框架 这时系统的态矢量在动基