3.2.1圆的对称性(峄城 袁义).doc

课时课题：第三章 第2节 圆的对称性 第1课时课型：新授课授课人：峄城区曹庄中学 袁 义授课时间：2013年2月26日 星期二 第1节课 教学目标：1.了解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其逆定理，并能运用垂径定理及其逆定理进行计算和证明.3.经历探索圆的轴对称性及相关定理的证明过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 体会数学的严谨性和抽象性，培养学生勇于探索、实事求是的科学精神.同时也让学生感受几何图形的对称美. 培养学生独立思考的习惯，合作交流的意识及创新精神.教学重点与难点：重点：垂径定理及其逆定理难点：垂径定理及其逆定理的证明教法与学法指导：本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用.课前准备：教师准备：多媒体课件学生准备：自制的圆形纸片教学过程： 一、创设情境，引入新课师世界上因为有圆，万物才显得富有生机,请欣赏生活中美丽和谐的图案让我们一起走进圆的美丽世界. (学生在观察这些图案的同时，学习的兴趣也油然而生) 师这些图案蕴含着对称美，前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？生如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴 师非常棒！那我们又是如何验证一个图形是轴对称图形？生折叠 师今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性适时课题板书：3.2圆的对称性（1）明确本节课的学习目标.（课件出示）（设计意图：从美丽和谐的图案出发，发现圆的对称美的同时，开门见山引入新课，具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣，提高了学生的学习兴趣，同时也让学生体会到数学来源于生活，增强学好本节课的动力.） 二、探索交流，汲取新知 师同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？教师课件出示问题生(一学生走上讲台,在黑板上画出圆的直径并回答)圆是轴对称图形，这条直径是对称轴. 很快的另一学生说：“对称轴是直线”.师有同学提示对称轴是直线，不能说是直径.请第一个同学修改一下.生圆的对称轴是直线，而不是线段，应改为直径所在的直线是圆的对称轴.师很好，你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下生我们可以利用折叠的方法，解决上述问题（学生利用自制的圆形纸片边动手实验，边讲）把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴师说的非常好（情绪饱满）教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（设计意图：鼓励学生大胆表达自己的想法，这里我没有过早地去评判，把机会留给了学生，让他们在相互交流中形成正确认识.）师为了方便我们对圆深入的探索，下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念（引导学生借助图形进行理解）1圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)2弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)3直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是O的一条弦，弧CD是O的一条直径注意：1 弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作)，劣弧ABD(记作)2 请同学们弄清楚这几个名词的联系和区别：直径与弦，半圆与弧，半圆与劣弧、优弧.生直径是弦，但弦不一定是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.（设计意图：在读写认的过程中使学生熟悉基础概念感受优劣弧和弦的长短变化) 三、实践活动，探索新知 下面我们一起来做一做：(出示投影片)按下面的步骤做一做：1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2得到一条折痕CD3在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图师老师和大家一起动手(教师叙述步骤，师生共同操作,整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生亲身参与垂径定理的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握)师通过第一步，我们可以得到什么？生齐声可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴师很好在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生我发现了，AMBM，师为什么呢？生因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合师还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？图3-7师生共析如图3-7所示，连接OA、OB得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是Rt，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合因此AMBM，=，=师在上述操作过程中，你会得出什么结论？生垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧师同学们总结得很好这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂径定理在这里注意；条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述，进行方法和规范指导）.如图3-7，连结OA、OB，则OAOB在RtOAM和RtOBM中，OAOB，OMOM，RtOAMRtOBM， AMBM 点A和点B关于CD对称O关于直径CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合=，=（设计意图：通过折叠的方法和证明的方法，探索垂径定理.引导学生体会探索方式的多样性.定理的证明只要求学生理解，不要求所有的学生都掌握.）师为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧即垂径定理的条件有两项，结论有三项用符号语言可表述为：如图37，在O中，四、联系生活，应用新知下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF90m，求这段弯路的半径 师生共析要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了因为已知OECD，所以CFCD300cm，OFOEEF，此时就得到了一个RtCFO，哪位同学能口述一下如何求解？生解：连结OC，设弯路的半径为rm，则OF(r90)m，OECD，CFCD600300(m)据勾股定理，得OC2CF2OF2，即r23002(r90)2解这个方程，得r545这段弯路的半径为545m师在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用、（及时向学生进行数学思想及方法的渗透）（设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方）五、 实践活动，再探新知下面让我们来共同想一想：(出示多媒体课件)如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M师上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生齐声它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线师很好你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？生通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点MCD就是O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称由轴对称可知，ABCD，=，= 师大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下（引导学生先分析命题的条件和结论，然后由学生到黑板板书，教师进行方法和规范指导）.生如上图连接OA、OB便可得到一个等腰OAB，即OAOB，又AMMB，即M点为等腰OAB底边上的中线由等腰三角形三线合一的性质可知CDAB，又CD是O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合师在上述的探讨中，你会得出什么结论？生平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理师同学们，你能写出它的证明过程吗？生如上图，连结OA、OB，则OAOB在等腰OAB中，AMMB，CDAB（等腰三角形的三线合一）O关于直径CD对称当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合=，=（设计意图：在教学时，首先应鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流得出结论，在这一过程中使学生再次体会研究图形的多种方法.教学时还应鼓励有能力的学生书写证明过程.）六、课堂小结，拓展延伸由学生自我小结本节所学知识与方法.(提示：学生从4方面入手探究：一是学到了哪些知识；二是掌握了哪些数学思想和方法；三是还有哪些发现与猜想；四是还有哪些问题与困惑）.生1本节课我们探索了圆的对称性生2利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理生3垂径定理及其逆定理是证明线段相等、垂直，弧相等的重要依据，垂径定理常与勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题（设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.) 七、达标检测，反馈矫正1（2012，泰安）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（） ACM=DMB=CACD=ADCDOM=MD2如图，在半径为13的O中，OC垂直弦AB于点B，交O于点C，AB=24，则CD的长是 1题图2题图OABCD3题图4题图3.（2012，珠海）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sinOCE= 4.（2012，南通）如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB30cm，CD16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离(本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键训练学生的探究推理能力)（设计意图：通过此环节让学生经历自主探究、合作交流的过程，自己获取知识，采取 “学生抢答”等形式，进一步理解垂径定理及其逆定理，也能提高学生的合作意识，培养学生团队合作精神和竞争意识.） 八、布置作业，落实新知1.基础作业：（1）课本P101，习题3.2 第1、2题；（2）预习内容：P102107.（预习引导：圆是中心对称图形圆心角、弧、弦之间相等关系定理） 2.拓展作业：课本P101 习题3.2 第3、4题.板书设计：3.2 圆的对称性（1）一、圆是轴对称图形二、与圆有关的概念1.圆弧 2.弦 3.直径三、垂径定理四、垂径定理逆定理例1学生板演区 投 影 区教学反思：本课时主要是对圆轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）的探索垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及到的条件和结论学生容易搞混肴，本节课采取了讲练结合动手操作