高二数学集合与函数的概念复习.doc

珠海培优家教 珠海学子家教 台州思敏家教 湛江智慧家教 集合与函数的概念一、基础知识梳理（一）集合1.集合的基本概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中元素必须具备以下三个特征：确定性：指集合中的元素是确定的。对于一个给定的集合，任何一个对象是否为这个集合的元素是明确的，只有“属于”与“不属于”两种情况，两者必居其一；互异性：指给定的一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一元素；无序性：集合中的元素无前后顺序之分.元素和集合的关系是和 ，二者有且只有一种成立。2.集合的表示方法集合的一般表示方法主要有:列举法：把集合中的元素一一列举出来的方法.注意：用列举法表示集合时，须注意集合中元素的“互异性”与“无序性”。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.描述法的格式：x|p(x),xA，其中，大括号内的竖线之前的文字是“集合的代表元素”，竖线后面是借助代表元素描述的集合中元素的属性及范围（即判断对象是否属于集合的确定的条件）.Venn图示法：用平面上封闭的曲线的内部直观形象地表示集合.3集合间的基本关系子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素（若aA，则aB），则称集合A为集合B的子集，记作：AB或BA，读作：“集合A含于集合B”或“集合B包含集合A”；A与B不具有包含关系，记作：A B或B A。理解：若xA xB,则AB规定：空集是任何集合的子集，即：对任何一个集合A，都有A显然：任何一个集合都是自身的子集, 即AA.相等：若AB且BA，则A=B.真子集：若AB且AB；则AB（即A是B的真子集）.特例：空集是任何非空集合的真子集.有关性质： AB且BA；AB，BC AC； AB，BC AC.若集合A有n个元素，则A的子集个数为2n，真子集个数为2n1个。4集合的交、并、补运算交集：由所有属于集合A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA,且xB；并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA,或xB；补集：设U是一个集合，A U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集），记作 ，即 .如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则将U称为全集。 交集、并集、补集的性质：AA=A，A = ，AB=BA，AA=A，A =A，AB=BA.ABA，ABB，ABA，ABB.AB=A A B，AB=A B AA = ，A =U. ， （AB）C=（AC）（BC），（AB）C=（AC）（BC）。（二）函数及其表示1函数的三要素构成函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域B.其中核心是对应法则f，它是联系x和y的纽带，是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可。2映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB.对于映射这个概念，应明确以下几点：映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”。象与原象：f：AB，则A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。从象与原象的角度理解映射：象存在且唯一；B中某些元素可以没有原象。即A的象组成的集合是B的子集。3函数与映射的区别与联系函数是特殊的映射，即当两个集合A、B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射，而映射不一定是函数.4函数的图象函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具，是数形结合应用的典范。5函数的表示方法列表法-列表表示函数的关系。图象法-图象表示函数的关系。解析法-用等式表示函数的关系，这个等式叫做解析式表达式。6求函数的解析式根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，一是要求出对应法则，二是要求出函数的定义域.求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.二、典题与精析例1判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3与3，2，1不相等；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB与AB不能同时成立.解析：（1）不正确； 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。（2）不正确；空集是任何非空集合的真子集；不能是它自身的真子集。（3）不正确；1，2，3与3，2，1表示同一集合。（4）不正确； 是每个集合的子集，0，1的所有子集是0，1，0，1， 。（5）正确；AB包括两种情形：AB和A=B.（6）不正确；A=B时，AB与AB能同时成立.评注：在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密，紧扣概念，对每个概念不仅要记住，而且要理解其本质.另外要注意的是：对于错误的说法，举一个反例即可.例2下面三个集合是否相同？它们各自的几何意义是什么？（1）y|y=2x1，xR；（2）y|y=2x1，xQ；（3）（x，y）|y=2x1，xR.解析：判断两个集合是否相同的依据是看集合中的元素是否相同，虽然三式的表达式相同，但数集的范围不同，因此，它们是不同的集合，（1）实数域中的数集；（2）有理数域中的数集；（3）直角坐标平面上一个点集（这些点在同一条直线上）。评注：解与集合有关的问题时，首先搞清楚元素的性质是什么，若元素的性质不同，一定是不同的集合.其次要看元素的范围，若元素的范围不同，集合也是不同的.例3已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围.解析：（1）a=0时，原方程为3x+2=0 x= ，符合题意；（2）a0时，方程ax23x+2=0为一元二次方程，=98a0 a .当a 时，方程ax23x+2=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意.综合（1）（2），知a=0或a .评注：对于集合中元素的求法，要看清原来是用什么方法表示出的，有时要分类讨论.例4集合x|3x0，xZ的子集共有（ ）A.7个B.8个 C.6个 D.5个解析：x|3x0，xZ1，2，3，所有子集是： ，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3.答案：B例5设集合A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，aR，若AB=B，求a的值.解析：首先化简集合A，得A=4，0，由AB=B，则有B A，可知集合B或为 ，或为0，或为4，或为0，4，若B= 时，=4（a1）24（a21）0，解得a1.若0B，代入得a21=0 a=1或a=1.当a=1时，B=x|x2+4x=0=0，4=A，合题意；当a=1时，B=x|x2=0=0 A，也合题意.若4B，代入，得a28a+7=0 a=7或a=1.当a=1时，已讨论，合题意；当a=7时，B=x|x2+16x+48=0=12，4，不合题意.由得，a=1或a1.评注：此题考查分类讨论思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想，是数学思想的常用方法，在高考中重点考及.例6判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由.（1）y=x1，xR与y=x1，xN；（2）y= 与y= ；（3）y=1 与u=1 ；（4）y=x2与y=x ；（5）y=2|x|与y= 分析：此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.解析：（1）不同，因为它们的定义域不同；（2）不同，前者的定义域是x|x2或x2，后者的定义域是x|x2；（3）相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1；（4）不相同，定义域是相同的，但对应法则不同，值域不同，前者的值域是y|y2，后者的值域是y|yR；（5）相同，将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值，结果就是 例7已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；已知f（x）满足2f（x）+3f（ ）=4x，求函数f（x）的解析式；已知： ，求ff(-1)。解析：解法一：f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1解法二：令x+1=t，x=t-1，f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1解法三：设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2 把方程2f（x）+3f（ ）=4x中的x用 代换，可得方程2f（ ）+3f（x）= .解联立方程组 得f（x）= x+ ；-10时，xR，且 当a=0时，所求定义域为：xR且x0；当a2时，函数不存在；a=2时，x2；当a2时，xa，2。例题9：(1)已知：f(x)的定义域为-2，2，求f(x+1)，f(x2-1)的定义域；(2)已知：f(x+1)的定义域为(-3,1)，求f(x)的定义域。解析：（1）-2x+12-3x1，f(x+1)的定义域为-3，1；-2x2-12-3x1，f(x2-1)的定义域为 ；（2）x(-3,1)，-2x+12，f(x)的定义域为(-2,2)。例10作出下列函数的图象：（1）y=1x，xZ；（2）y=2x24x3（0x3）；（3）y=|x1|3x|；（4）y=|x24x3|.解析：（1）这个函数的图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=1x上.xZ，yZ，这些点称为整点.（图（1）；（2）0x3，这个函数的图象是抛物线y=2x24x3介于0x3之间的一段弧.（图（2）；（3）所给函数可写成分段函数 其图象是由两条射线与一条线段组成的折线.（图（3）；（4）所给函数也可写成分段函数 其图象是由两条抛物线的两段组成的.（图（4） （1） （2） （3） （4）例11如下图所示，在梯形ABCD中，AB=10，CD=6，AD=BC=4，动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A，若P点运动的路程为x，PAB的面积为y. （1）写出y=f（x）的解析式，并求出函数的定义域；（2）画出函数的图象并求出函数的值域.分析：首先通过画草图可以发现，P点运动到不同的位置，y的求法是不同的（如下图的阴影部分所示）. 可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的，它们的面积由其高来定，所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.解：（1）分类讨论：当P在BC上运动时，易知B=60，则知y= 10xsin60= x，0x4.当P点在CD上运动时，y= 102 =10 ，4x10.当P在DA上运动时，y= 10（14x）sin60= x+35 ，10x14.综上所述，函数的关系式为 （2）f（x）的图象如图所示. 由图象可知，y的取值范围是0y10 .这表明函数f（x）的值域为0，10 .评注：本题考查的是分段函数，这是一个实际问题，解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想，这是多年的高考热点，也是今后高考命题的方向.例12某蔬菜基地种植西红柿，由两年的市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价P与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示，西红柿的种植成本Q与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.写出图（1）市场售价P与时间t的函数关系式P=f（x）；写出图（2）种植成本Q与时间t的函数关系式Q=g（t）. 解：求图（1）中线段AB、BC的解析式时，设f（t）=kt+b（k、b为常数且k不等于0）.先求线段AB的函数：把 以及 代入f（t）=kt+b，可得 则求得线段AB的方程为f（t）=300t.再加上它的定义域即得线段AB的解析式为f（t）=300t，0t200.同理可得线段BC的解析式为f（t）=2t300，200t300.所以折线段的解析式为 再求图（2）的解析式：可以看出，图（2）中抛物线的顶点坐标是（150，100）.设其解析式为Q=g（t）=a（t150）2+100，0t300.把 代入g（t）=a（t150）2+100，0t300，可得a= .所以抛物线段的解析式为g（t）= （t150）2+100，0t300。评注：对于生活中的实际问题，特别是求解函数关系式，一定要把函数的模型抽象出来，这就是所谓的建模.可以看出，一旦抓住了事物的本质，建立出正确的数学模型，具体解起来并不复杂.本周练习：1给定四个式子：(1) ; (2) 0 偶数；(3) (-1,2)(x,y)|y=x2+1 (4) -2a-a2, 2a, 4其中正确的有（ ）。A、1个B、2个 C、3个D、4个2若 ，则（ ）。A、M=N B、M N C、N M D、MN=3设A=x|x=a2+1, aN*, B=y|y=b2-4b+5, bN*，则（ ）。A、A=B B、A B C、B A D、AB=4如图，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（ ） 5在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）Af（x）=x1，g（x）= Bf（x）=|x1|，g（x）= Cf（x）=x1，xR，g（x）=x1，xZDf（x）=x，g（x）=（ ）26函数 的定义域为A，函数 的定义域为B，若AB=，则实数a的取值范围是（ ）。A、a|-1a3 B、a|-2a4 C、a|-2a4 D、a|-1a37若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）。A、a2或a-2 B、02或a28给出三个等式：(1)f(x+y)=f(x)+f(y); (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) f(xy)=f(x)f(y)，则不满足其中任何一个等式的函数是（ ）。A、y=x2 B、y=sinx C、y=2x D、y=lgx9在区间 上函数f(x)=x2+px+q与 在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在 上的最大值是（ ）。A、 B、4 C、8 D、 10已知集合A=-1, 3a-8, a2-3，B=a-3, 2a-5, a+1，且AB=-2，则实数a=_。11.已知集合A=x|x22x3=0，集合B=x|ax1=0.若B是A的真子集，则a的值为_.12命题：“若m0 ，则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数是_。13已知f(x)=x2+4x+3，函数g(t)表示函数f(x)在区间t, t+1 (tR)上的最小值，则g(t)的表达式为_。14.移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先