湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究二次函数与几何综合题题库.docx

二次函数与几何综合题1. 如图，抛物线yx2x2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点(1)求A、B、C三点的坐标；(2)连接MO、MC，并把MOC沿CO翻折，得到四边形MOMC，那么是否存在点M，使四边形MOMC为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积第1题图解：(1)令y0，则x2x20，解得x14，x21，点A在点B的左侧，A(1，0)，B(4，0)，令x0，则y2，C(0，2)；第1题解图(2)存在点M，使四边形MOM C为菱形如解图，连接MM ，设M点坐标为(x，x2x2)(0x4)，四边形MOM C是菱形，MM 垂直平分OC，OC2，M点的纵坐标为1，x2x21，解得x1，x2(不合题意，舍去)，M点的坐标为(，1)；(3)如解图，过点M作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点H，连接CM、BM、AC，设直线BC的解析式为ykxb(k0)，第1题解图将B(4，0)，C(0，2)代入，得，解得，直线BC的解析式为yx2，设M(x，x2x2)，0x4，则Q(x，x2)，QMx2(x2x2)x22x，S四边形ABMCSABCSCMQSBQMABOCQMOHQMHBABOCQM(OHHB)ABOCQMOB52(x22x)4x24x5(x2)29，当x2时，四边形ABMC的面积最大，且最大面积为9，又当x2时，yx2x23，当M点的坐标为(2，3)时，四边形ABMC的面积最大，且最大面积为9.2如图，抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标第2题图 备用图解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，解得，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为yx22x3；(2)如解图，连接PC、PE.1，当x1时，y1234；当x0时，y3，点D坐标为(1，4)，点C坐标为(0，3)，第2题解图设直线BD的表达式为：ymxn，将点B、D坐标分别代入，得，解得，y2x6，设点P坐标为(x，2x6)，由勾股定理可得PC2x2(32x6)2，PE2(x1)2(2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2(2x6)2，解得x2，则y2262，P点坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M坐标为(a，0)，则点G坐标为(a，a22a3)如解图，以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，必有FMMG，|2a|a22a3|，第2题解图(i)2a(a22a3)，解得a；(ii)2aa22a3，解得a，综上所述，M点的坐标为(，0)或(，0)或(，0)或(，0)3如图，已知二次函数y1x2xc的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2kxb.第3题图(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标；(2)由图象写出满足y1y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)点A(4，0)在抛物线y1x2xc上，424c0，解得c3，抛物线解析式为y1x2x3，点B是抛物线y1与y轴的交点，点B的坐标为(0，3)；(2)由图象得直线在抛物线上方的部分是x4，x4时，y1y2；(3)存在，直线y2kxb过点A(4，0)，B(0，3)，则，解得，直线AB的解析式为yx3，AB的中点为(2，)，AB的垂直平分线为yx，当x0时，y，P1(0，)，当y0时，x，P2(，0)，综上所述：P1(0，)，P2(，0)，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形4如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D.(1)求b、c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由第4题图解：(1)由抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)可得，解得.故b的值为，c的值为4；(2)AOPPEB90，OAPEPB90APO，AOPPEB，则2，AO4，P(t，0)，PE2，OEOPPEt2，又DEOA4，点D的坐标为(t2，4)，点D落在抛物线上时，有(t2)2(t2)44，解得t3或t2，t0，t3.故当t为3时，点D落在抛物线上；(3)存在，理由：由(2)知AOPPEB，则2，P(t，0)，即OPt.BE.当0t8时，若POAADB，则，即，整理得t2160，t无解；若POABDA，则，即，解得t122或t222(舍去)；当t8时，如解图若POAADB，则，即，第4题解图解得t184或t284(负值舍去)；若POABDA，同理可得t无解综上可知，当t22或84时，以A、B、D为顶点的三角形与AOP相似5已知直线y2xm与抛物线yax2axb有一个公共点M(1，0)，且ab.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)；(2)说明直线与抛物线有两个交点；(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若1a，求线段MN长度的取值范围解：(1)抛物线过点M(1，0)，aab0，即b2a，yax2axbax2ax2aa(x)2，抛物线顶点Q的坐标为(，)；(2)直线y2xm经过点M(1，0)，021m，解得m2，把y2x2代入yax2ax2a，得ax2(a2)x2a20，(a2)24a(2a2)9a212a4，又ab，b2a，a0，b0，9a212a40，方程有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个交点；(3)把y2x2代入yax2ax2a，得ax2(a2)x2a20，即x2(1)x20，x()2()2，解得x11，x22，将x2代入y2x2得y6，点N(2，6)，根据两点间的距离公式得，MN2(2)12(6)24520()2，1a，则21，0，MN2()3，又1a，5MN7.6如图所示，直线l1交直线l2于y轴上一点A(0，6)，交x轴于点C(8，0)l2交x轴于点B(2，0)，二次函数yax2bxc的图象过点A、B、C，点P是线段OC上由O向C移动的动点，线段OPt(1t8)第6题图(1)求直线l1和二次函数的解析式；(2)设抛物线的对称轴与直线l1相交于点M，请在x轴上求一点N，使AMN的周长最小；(3)设点Q是AC上自点C向点A移动的一动点，且CQOPt.若PQC的面积为S，求S与t的函数关系式；当PQC为等腰三角形时，请直接写出t的值解：(1)由点A(0，6)、C(8，0)得直线l1为：yx6，将点A(0，6)、B(2，0)、C(8，0)代入得：yx2x6；(2)由(1)知：抛物线的对称轴为x3.抛物线的对称轴与直线l1相交于点M，将x3代入l1：yx6中得y36，点M(3，)，第6题解图在AMN中，AM的长为定值，若AMN的周长最小，那么 ANMN 的值最小，如解图，取点M关于x轴的对称点M，连接AM交x轴于N，则点M(3，)，设直线AM的解析式为：ykx6，则3k6，解得k，直线AM为：yx6，当y0时，x，即 N(，0)；(3)如解图，过点Q作QEx轴于点E，则AOCQEC，第6题解图，在RtAOC中，AO6，OC8，由勾股定理可得，AC10，QEQCt，CEQCt，OEOCCE8t，Q(8t, t)，PCOCOP8t，SPCQE(8t)tt2t(1t8)；当PQC为等腰三角形时，t1，t2，t34；【解法提示】PQ2(8tt)2(t)2t2t64，PC2(8t)2t216t64，CQ2t2；当PQPC时，t2t64t216t64，解得t10(舍去)，t2；当PQCQ时，t2t64t2，解得t18(舍去)，t2；当PCCQ时，t216t64t2，解得t4，当PQC为等腰三角形时，t1，t2，t34.7如图，直线yx2与抛物线yx22mxm2m交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M，与x轴交于点N.第7题图(1)若点P为直线OD上一动点，求APB的面积；(2)当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；(3)作点B关于直线MD的对称点B，以点M为圆心，MD为半径作M，点Q是M上一动点，求QBQB的最小值解：(1)由，解得或，点A在点B的左侧，A(m1，m1)，B(m2，m4)，ABm1(m2)2(m1)(m4)23.yx22mxm2m(xm)2m，D(m，m)，DONCOD45，直线OD的解析式为yx.直线yx2与y轴交于点C，C(0，2)OC2，直线AB的解析式为yx2，ABOD，直线AB与OD之间的距离hOC，SAPBABh33；(2)ABOD，OCDM，四边形CODM是平行四边形，四边形CODM是菱形，ODOC.(m)222，解得：m，点D的坐标为(，)或(，)；(3)如解图，四边形CODM是平行四边形，第7题解图MQMDOC2，A(m1，m1)，B(m2，m4)，抛物线对称轴为xm，点B到对称轴的距离为m2m2，设直线MD与M相交于另一点F，连接BF，直线AB的解析式为yx2，FMBMBF45，BFMF2，MFB90，MB2，取MB的中点E，则ME， MQ24MEMB，即又QMEBMQ，QMEBMQ，QEQB，QBQB的最小值即为QBQE的最小值，即线段BE的长，点B关于直线MD的对称点为B，BMFBMF45，MBMB2，BMB90，BE.8如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴、y轴分别交于A(1，0)、B(3，0)、点C三点(1)试求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图，在(2)的条件下，将BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为BOC在平移过程中，BOC与BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？第8题图解：(1)将A(1，0)、B(3、0)代入抛物线yax2bx3， 解得：a1，b2.故抛物线解析式为：y-x22x3；(2)存在理由如下：将点D(2，m)代入抛物线解析式得：m3，D(2，3)，当x0时，y3，C(0，3)，OCOB，OCBCBO45.如解图，设BP交y轴于点G，第8题解图CDx轴，DCBCBO45，在CDB和CGB中：，CDBCGB(ASA)，CGCD2，OG1，点G(0，1)，设直线BP：ykx1(k0)，代入点B(3，0)，k ，直线