第二章 建模.ppt

以消除偏差为目的 会分析反馈控制系统的工作原理 反馈 基本结构与特征 飞球调速器稳定性设计系统的观点看问题用线性微分方程近似建立系统模型 求解微分方程麻烦 避开微分方程求解 转化为求代数方程的根 求高阶代数方程根麻烦 避开代数方程求解 劳斯 赫尔维茨判据 第二章自动控制系统的数学模型 为什么要建模 刻画系统哪些方面的特性 如何建模 要解决什么问题 采用哪些工具 前言 建模原因 根据转速变化反馈调节电枢电压 可以消除负载扰动对转速的影响 具体的实现问题 是否一改变电压 转速马上就能变化 如果想快一点要怎么做 快的话可能会出现什么问题 你觉得如何才能又快又稳 电枢控制的他激直流电动机 例2 4Mc t 为电机轴上的总负载转矩 确定电枢电压ua t 为控制输入量 Mc t 为扰动输入量 角速度 t 为输出量 求系统微分方程 电枢反电势ea t 电动机电磁力矩M t 电枢控制的他激直流电动机 从不同的角度研究同一系统可得到不同的数学模型 例2 4 为什么不是一加电压转速就能上升 为什么电压加大 转速升得就快 力要经过积分再积分才能影响角度 慢 柔性为什么转速升得快 反馈后会出现不平稳现象 第2 2节 线性常微分方程 例2 2参数的物理意义 结论一 建模的关注点 刻画对象 系统的动态特性 动态特性惯性与滞后时间常数 线性常微分方程 主要建模工具 P232 2 1一般步骤P33式 2 62 进一步说明 P27 平衡状态 令微分方程中各阶导数为零 得到静态关系的代数方程 动态特性 本质上由各阶导数来主导 即各变量相对于平衡状态的偏离量以及偏离量的变化率 增量化 去除静态关系 突出动态特性 有的对象 为什么不管在什么设定速度下都能用同一种控制器 程序 统一改为百分比 取消量纲 线性常微分方程的无因次化 为什么可以用同样的阀门符号 同样的作用 进一步说明 P27 微分方程的无因次化因次 量纲无因次 去掉量纲 研究相对变化量 不是绝对变化量 无因次化 突出共性 便于研究系统的本质 也便于在共同的标准下比较不同系统 方法 可将各增量除以各自的平衡状态时的值 时间的无因次化 是否对于任何对象 不管在什么设定值下都能用同一种控制器 程序 更进一步说明 P28 2 2 3 2 2系统的微分方程 横截面积为C的贮罐液位系统流入量 Qi t 流出量 Q0 t 液位高度 h t 液体流量变化的平衡关系得 由流体力学可知 是出料阀的节流系数 S为出料阀流通面积 2 2系统的微分方程 非线性的部分 设工作在 S0 h0 结论二 几个基本概念 动 静态特性 平衡状态增量化无因次化线性化何谓线性系统 补充知识 线性叠加原理输入激励 u1 t u2 t 对应输出响应 y1 t y2 t 有 若输入 u1 t u2 t 则输出响应 y1 t y2 t 参考输入 ur输出量 扰动量 Mc测量反馈 Uf 转速控制系统 结论三 工程系统建立微分方程 注意负载效应 2 3节 传递函数的引入 P33及例2 9 输入激励为单位阶跃输入 求输出响应 2 3节 传递函数的引入 使用传递函数的原因求解式 2 57 是否方便 目标 提高稳 快 准 是否要解式 2 62 使用传递函数的原因化微分方程求解为代数方程求根 方法 引入拉普拉斯算子 式 2 62 式 2 65 零初始条件下 各阶导数在零时刻都为0 有 2 3传递函数 方便求解微分方程 例2 9 输入激励为单位阶跃输入 求输出响应 要求能将常微分方程转换为传递函数 传递函数表达式中各项系数的值完全与微分方程中各导数项的系数相对应 传递函数的其余优点 可以突出结构和参数对系统性能的影响 P34三段 例2 11 高阶时 各系数物理意义往往不直观 传递函数是否还能突出结构和参数对系统性能的影响 P412 3 6节 P34传递函数的补充说明 1 2 3 3典型输入信号及其拉普拉斯变换 2 单位脉冲相应函数g t 与传递函数的关系 要求掌握 P34补充说明 传递函数的物理意义 单位脉冲响应函数g t 与传递函数的关系 要求掌握 函数的强度 也称单位脉冲函数的冲量定义为 单位脉冲响应函数 线性定常系统在单位脉冲输入信号激励下的输出响应 通常用g t 表示 P38补充说明 2 3 5节关于零极点分解的补充说明 物理意义 将复杂系统化解为简单的典型环节组合 分为几个基本环节 n阶复变量方程有几个根 基本环节的特点 系数为实数的复变量方程 其根具有什么特点 物理原型传递函数阶跃响应曲线 高阶系统传递函数是否还能突出结构和参数对性能的影响 典型环节 比例环节积分环节惯性环节微分环节振荡环节延迟环节 2 3传递函数的并联分解 2 3 6典型环节及其传递函数 环节中含有一个独立的储能元件 以致对突变的输入来说 输出不能立即复现 存在时间上的延迟 传递函数 惯性环节 微分方程 特点 含两个独立的储能元件 当输入量变化时 两个储能元件的能量进行交换 使输出带有振荡的性质 微分方程 其中 阻尼比0 1 T 振荡环节的时间常数 传递函数 振荡环节 另一种常见形式 振荡环节 特点 输出量与输入量的导数成正比 微分环节 在实际系统或元件中的惯性是普遍存在的 理想的纯微分关系是很难实现的 在实际工作中 微分环节可采用近似的实现方法 P34补充说明 传递函数的说明 1 若传递函数的分母多项式中的最高次为n 则称系统为n阶系统 P34 实际物理系统不可避免的含有惯性元件 并受到能源功率的限制 系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大或等于分子多项式的阶数m 即n m 2 一个传递函数只能表示单输入 单输出的关系 对于多输入 多输出情况 一般需要采用传递矩阵来表示 结论四 传递函数的并联分解 2 3 3典型输入信号及其拉普拉斯变换 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位抛物线函数 要求掌握 结论四 引入传递函数的原因 简化线性常微分方程求解 求微分方程解转化为求代数方程解 例如求零 极点 2 3 5 直接观察系数了解系统特性 第2 4节 结构图与复杂控制系统的传递函数 构成控制系统后 如何建模 传递函数 若变量多且相互耦合则建模相当困难 控制系统的设计具有一定自由 尽量减少变量之间耦合 减少负载效应 只需考虑局部变量之间的关系 列写其传递函数 列写各部分元件传递函数 再组合为总的传递函数 方框图 传递函数为什么用运算放大器 小结 为什么要建模 如何建模 要解决什么问题 采用何种工具 为什么用线性微分方程 线性 动态系统 线性化 增量化为什么用传递函数 为什么用结构图 先决条件 化简方法 1 结构图组成的四要素 1 函数方块 2 信号线 3 分支点 4 相加点 a 函数方块 b 信号线 c 分支点 d 相加点 2 4结构图 2 4 1结构图的组成与建立 2 4结构图 2 函数方块的三种连接结构 1 串联 2 并联 3 反馈 第2 4节 结构图的等效变换 如何得到Ur与 的关系 合并各环节 如何合并 图中包含哪些基本联接关系 串联 并联 反馈合并的目的是什么 消除中间变量 写出Ur与 M与 的传递函数 第2 4节 结构图的等效变换 合并的原则应为什么 变换前 后有关部分的输入量 输出量之间的关系保持不变 以此原则自行讨论表2 1各法则 2 4结构图 例2 14利用结构图变换求解传递函数Y s R s 化简的难点在哪里 能否直接套用串 并联等三种联接模式 为套用这些模式应做哪些变换 2 4结构图 结构图简化需注意以下两点 结构图简化的关健是解除环路与环路的交叉 应设法使其分开 或形成大环套小环的形式 解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点 一般 相邻的相加点可交换 相邻的分支点也可交换 但当分支点和相加点相邻时 它们不能简单交换 2 4结构图 结论五 结构图及其等效变换 必考内容 信号流图 由若干节点 连接这些节点的有向线段 2 5信号流图 节点 代表系统中的一个信号 变量 其符号为 o 支路 连接两个节点的有向线段 其中的箭头表示信号的传送方向 用符号 表示 传输 两个节点之间的增益叫传输 增益即为两个节点所代表的两个信号之比 支路的传输标在支路旁边 1 输入节点或源点 只有输出支路的节点 2 输出节点或阱点 只有输入支路的节点 3 混合节点 既有输入支路 又有输出支路的节点 通路 沿支路箭头的方向穿过各相连支路的途径 开通路 如果通路与任一节点相交不多于一次就叫开通路 回路 如果通路的起点就是通路的终点 且与其它节点相交不多于一次的闭合通路 前向通路 输入节点到输出节点且通过其他节点不多于一次的通路 不接触回路 没有任何公共节点的回路 2 5信号流图 表2 3 信号流图的节点 传递函数中的信号传输 传递函数 2 5 3信号流图与结构图的对应关系 2 5信号流图 表2 3 2 5信号流图 表2 2 1 串联支路的合并运算2 并联支路的合并运算3 回路的消除运算 2 5 2信号流图的运算 2 5信号流图 表2 2 4 混合节点的消除运算 2 5信号流图 Pk 从输入节点与输出节点的第k条前向通道的传输 信号流图的特征式 k 在 中除去所有与第k条前向通路相接触的回路增益项后剩下的余因子 对输入节点与输出节点间所有可能的k条通路求和 2 5 4梅逊公式及其应用 2 5信号流图 最常遇见的情况是系统的所有反馈回路都互相接触 而所有前向通路也都与所有反馈回路接触 常用公式 2 5信号流图 例2 15用梅逊公式证明例2 14中简化后得到的系统传递函数 该系统有1条前向通路和3个回路 它们的增益分别为 例2 16 求总增益P 解 2 5信号流图 注意到前向通路P1和P2与所有回路都接触 而前向通路P3除了不与L1接触外 与其他两个回路都接触 因此有 2 7利用MATLAB的建模和仿真 2 7 1输入传递函数和化简结构图输入传递函数 conv tf zpk 用于传递函数输出 printsys 用于构建系统 series parallel feedback 例2 17对传递函数 1 输入两个传递函数 求零极点形式 2 分别串联和并联两个传递函数 3 将串联和并联获得的两个传函分别放在前向通络和反馈通路形成负反馈 2 7利用MATLAB的建模和仿真 num1 7 1 输入G1分子系数 den1 1 3 5 输入G1分母系数 num2 1 输入G2分子系数 den2 conv 1 2 3 1 1 输入两个多项式因子的乘积作为G2分母系数 G1 tf num1 den1 G2 tf num2 den2 输入两个传递函数 2 7利用MATLAB的建模和仿真 Gzp1 zpk G1 Gzp2 zpk G2 求零极点形式 nums dens series num1 den1 num2 den2 将两个传递函数串联方法一 Gs G1 G2 将两个传递函数串联方法二 2 7利用MATLAB的建模和仿真 nump denp parallel num1 den1 num2 den2 将两个传递函数并联方法一 Gp G1 G2 将两个传递函数并联方法二 Gf feedack G1 G2 1 反馈连接 负反馈为 1 正反馈为 1 2 7利用MATLAB的建模和仿真 2 7 2求解系统的输出响应 1 根据系统输出响应函数方程直接计算响应值 然后调用绘图指令绘制响应结果曲线 2 可直接调用求解相应输入激励下的系统输出响应的函数 如 impulse step 和lsim 绘图的目的就是显示计算和分析结果 2 7利用MATLAB的建模和仿真 例2 18考虑二阶系统的拉普拉斯变换为 其中 n 1 求 系统分别在 0 0 2 0 6 1 2时的单位脉冲响应和单位阶跃响应 1 在求解系统的单位脉冲响应时 先求得单位脉冲响应表达式 然后调用绘图指令绘制响应结果曲线 2 7利用MATLAB的建模和仿真 根据 2 156 建立一个M文件ex2 18 m 运行结果如图2 39所示 2 7利用MATLAB的建模和仿真 2 直接调用求解系统单位阶跃响的函数step 在屏幕上直接输入代码 clear 清除变量clc 清屏t 0 0 02 30 给出绘图时刻zeta 0 0 2 0 6 1 2 给出阻尼系数fori 1 length zeta num 1 den 1 2 zeta i 1 y i step num den t 求其脉冲响应endplot t y 画出图形xlabel Time sec 标注x轴ylabel y t m 标注y轴 2 7利用MATLAB的建模和仿真 title ThestepResponseofTwoOrderSystem 对图命名fori 1 length zeta 标注曲线text 3 5 y 170 i leftarrow zeta num2str zeta i endgridon 显示网格运行结果如图2 40所示 1 微分方程的建立微分方程是描述物理系统动态特性的数学模型 适合用于描述机械系统 电气系统 流体系统以及热力学系统等物理系统的输入输出特性 因直接利用系统自身的物理规律在时域内建立各物理量之间的数学关系 故微分方程属于时域模型 2 微分方程的线性化 增量化和无因次化在小偏差的情况下研究非线系统的动态特性 在非线性微分方程在平衡点附近线性化 无因次化是突出共性的表示方法 便于研究系统本质 在共同标准下比较不同系统 3 线性定常系统的数学模型线性定常微分方程 传递函数 单位脉冲响