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文档简介

1 3 3解对初值的连续性和可微性定理 2 解对初值的连续性解对初值和参数的连续性解对初值的可微性 内容 3 G 图例分析 见右 解对初值的对称性 Q 当初值发生变化时 对应的解是如何变化的 当初始值微小变动时 方程的解变化是否也是很小呢 4 证明 则由解的唯一性知 即此解也可写成 且显然有 5 按解的存在范围是否有限 又分成下面两个问题 6 一解对初值的连续性 定义 设初值问题 1 解对初值的连续依赖性 7 初值问题 8 引理如果函数于某域G内连续 且关于y满足利普希茨条件 利普希茨常数为L 则对方程的任意两个解及 在它们的公共存在区间内成立着不等式 其中为所考虑区间内的某一值 证明 则 9 于是 因此 两边取平方根即得 10 2定理1 解对初值的连续依赖性定理 条件 I 在G内连续且关于满足局部Lips 条件 II 是 1 满足的解 定义区间为 a b 结论 对 使得当 时 方程 1 过点的解在 a b 上也有定义 且 方程 11 思路分析 12 记积分曲线段S 显然S是xy平面上的有界闭集 第一步 找区域D 使 且在D上满足Lips 条件 G 见下图 由已知条件 对 存在以它为中心的圆 使在其内满足Lips 条件 利普希茨常数为 根据有限覆盖定理 存在N 当时 有 对 记 则以为半径的圆 当其圆心从S的左端点沿S运动到右端点时 扫过的区域即为符合条件的要找区域D b a 13 14 第二步 证明在 a b 上有定义 假定利用引理2及的连续性可得 15 第三步 证明 16 根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性 显然有 3定理2 解对初值的连续性定理 条件 在G内连续且关于满足局部Lips 条件 方程 17 证明 令 18 19 二解对初值的可微性 为研究解对初值的可微性 先研究解对初值和参数的连续依赖性 20 1解对初值和参数的连续依赖定理 21 2解对初值和参数的连续性定理 3解对初值可微性定理 22 证明 因此 解对初值的连续性定理成立 即 23 即 和 于是 24 设 25 即 是初值问题 的解 根据解对初值和参数的连续性定理 则 26 的解 不难求得 27 即 和 于是 28 29 即 是初值问题 的解 根据解对初值和参数的连续性定理 30 的解 不难求得 31 初值问题 32 例1 解 由公式得 33 34 作业 P
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