圆的基本性质.doc

9初三数学（尖子班）讲义（62期）第一讲 佛山学习前线教育培训中心 一、魔法装备题型分类： 无星代表普通高中 重点高中 三大名校一圆的定义和对称性：1. 圆的定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则: 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.3. 与圆相关的概念： 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示， 以 CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.4. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。5. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。6. 定理：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）二. 圆周角和圆心角的关系:1. 1的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1弧.2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成AOB= ,这是错误的.3. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.4. 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 三. 确定圆的条件:1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂 直平分线上.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.2. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.二、魔力升级例题1：如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长。变式练:1-1：如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长变式练习1-2： O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE6，EB2，CEA300，求CD的长。例题2：如图，ABC内接于圆，D是的中点，AD交BC于E，求证：ABACAEAD。AOBDCGF1E变式练习2-1：已知：如图所示，是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：变式练习2-2：已知:如图,BE是ABC的外接圆O的直径,CD是ABC的高. (1)求证:ACBC=BECD; (2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直径BE的长.三、魔法比拼（一）选择题：相信你一定能选对！1、 O中，弦AB所对的弧为120，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（ ）A. B. 1 C. D. 2、如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果，则AE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5O3-12DBAC （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第6题图）3、如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC长为 ( ) A 0.5cm B 1cm C 1.5cm D 2cm4、如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它 们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A12个单位 B10个单位 C1个单位 D15个单位5、2011凉山中考)AOB=100，点C在O上，且点C不与A、B重合，则ACB的度数为( ) (A)50 (B)80或50 (C)130 (D)50或1306、 如图3-12，已知：A、B、C、D是O上的顺次四点，且AC是直径，若ABD = 35， 则CAD 的度数是（ ）.A. 35 B. 45 C. 50 D. 55（2） 填空题：你能填得又快又对吗？7、已知点O为ABC的外心，若AOB=130，则A的度数为 .8、如图8,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= _ 9、如图9, O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点. 若AB=AC,则四边形OEAD是 形;若OD=3,半径,则AB= _cm, AC= _ _ cm 10、如图10，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长_(8) (9) (10)（3） 解答题： 11、如图，已知O中AB为直径，AB=10cm，AC=6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD的长 12、如图,O的直径AB=8cm,CBD=30,求弦DC的长. 13、如图：已知在O中，直径，正方形的四个顶点分别在半径OM、OP以及O上，并且POM=45，求AB的长； 四、越战越勇1、如图，已知BC是O 的直径，AHBC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BEEF32，AD6。（1）求证：AEBE；（2）求DE的长；（3）求BD的长；2、AOBEDCGF 如图，ABC是等边三角形，O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF的长.五、魔力宝盒数学家的幽默一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：你们不是说若且，则吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男生你也会喜欢罗！？” 数学家想了一下反问道： 那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均不过是五十度而已！”六、巅峰对决 1、如图，为的外接圆，为直径，则的度数为（） CBOAPCBO（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）2、 如图，在中，则的度数为3、如图，圆心角AOB=，P是弧上任一点（不与A，B重合），点在的延长线上，则BPC等于 （ ）A. B. C. D.4、 如图，已知AB是O的直径，弦BC = CD，BAD = 40，则ABC 的度数等于 ；5、如图，A、B、C都是O上的点，若ABO = 50，则ACB = ；七、英雄排行榜 自我