高中数学函数值域求法自编.doc

函数值域求法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，事半功倍的作用。 1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是：变式1：求下列函数的值域：;变式2：变式3：求函数的值域。 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8变式1：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；变式2： （1）求最值。（-动轴定区间）（2）求的最值（-定轴动区间）变式3：求函数y=的值域.变式4：已知sinxsiny，则函数sinxcos2y的最大值为_；最小值为_。答案：。解析： 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。练习：求函数的值域。解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即,细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。变式：的值域。 ；1,5注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数的值域。原函数可化为 =(), 即 1+(),0,例：求函数解析：将问题转换为求一元二次方程在闭区间上有解的冲要条件：令 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为习题：若函数 7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为习题：求函数的值域。分析与解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即： 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为：习题：求的值域（令=t）思考t的范围习题：求函数解：x的取值范围为： 竞赛： 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。P(2,3)xyABO练习：:求函数的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为11.类耐克函数方法（也为基本不等式的一种类型）例22. ；解：，练习：已知函数f(x)=,x1,+，(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x1,+,f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 练习：求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 变式1 ：求函数的值域. 原函数的值域为: . 变式2： 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：12. 部分分式法适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为例：求函数的值域。分析与解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有 不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所以故13.导数方法，略，可以举几个例子： 14. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。课后习题：函数的值域与最值一、选择题(每小题5分，共30分)1若函数y2x的定义域是P1,2,3，则该函数的值域是()A2,4,6 B2,4,8C1,2，log32 D1,2，log23解析：由题意得，当x1时，2x2，当x2时，2x4，当x3时，2x8，即函数的值域为2,4,8，故应选B.答案：B2定义在R上的函数yf(x)的值域为a，b，则yf(x1)的值域为()Aa，b Ba1，b1Ca1，b1 D无法确定解析：函数yf(x1)的图象是由函数yf(x)的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，其值域仍为a，b，故应选A.答案：A3函数y(x0)的值域是()A(0，) B(0，)C(0， D，)解析：由y(x0)得0y，因此该函数的值域是(0，选C.答案：C4函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A1，) B0,2C(，2 D1,2解析：x1时，y取最小值2；令y3，得x0或x2.故1m2.答案：D5若函数yf(x)的值域是，3，则函数F(x)f(x)的值域是()A，3 B2，C， D3，图1解析：令tf(x)，则t，3，F(t)t，根据其图象可知：当t1时，F(x)minF(t)minF(1)2；当t3时，F(x)maxF(t)maxF(3)，故其值域为2，答案：B6(2009海南/宁夏高考)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7图2解析：令2xx2x10(舍)或x22，令2x10x即2xx10，则2x3.则可知f(x)的大致图象如图2所示故f(x)6，即选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7函数y的值域是y|y0或y4，则此函数的定义域为_解析：y2，即2或2，由2x3，由23x.答案：，3)(3，8已知f(x)的值域是，g(x)f(x)，则yg(x)的值域是_解析：f(x)，则2f(x)，12f(x)，令