格林公式及其应用(28).ppt

思考与练习 1 设 且都取正向 问下列计算是否正确 提示 一 平面曲线积分与路径无关的条件 二 二元函数的全微分求积 第三节 2 曲线积分与路径无关的条件 第十一章 p197 例2 回顾 结果 被积函数相同 起点终点也相同 但是由于积分路径不同 导致积分结果不同 称此曲线积分与路径有关 被积函数相同 起点和终点也相同 虽然积分路径不同 但是积分结果相同 称此曲线积分与路径无关 回顾 p197 例3 结果 1 曲线积分与路径义无关的定义 B A 如果在区域G内有 一 平面曲线积分与路径无关的条件 2 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 证明 1 2 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 1 证明 2 3 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B x y 与路径无关 有函数 证明 3 4 设存在函数u x y 使得 则 P Q在D内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 证明 4 1 设L为D中任一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证毕 注意 1 常用来判断曲线积分与路径无关 2 当曲线积分与路径无关时 常选择最简路径 平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径 如果D是复连通域 即使曲线积分也不一定与路径无关 注意以上的结果与L的形状无关 单连通的条件不可去 见p205例4 当曲线积分 与路径无关时 我们可以不沿指定的L积分 一般选择沿折线积分 例1 解 练习证明下列曲线积分与路径无关 并计算积分值 教材214页 题4 2 解 曲线积分与路径无关 可沿折线积分 二 二元函数的全微分求积 1 原函数 如果存在一个函数u x y 使得 du x y P x y dx Q x y dy 原函数 全微分式 例如 全微分式 2 判别定理 定理3 设函数P x y Q x y 在单连通域D内具有一阶连续偏导数 则P x y dx Q x y dy在D内为某一函数全微分 在D内恒成立 3 全微分求积 当Pdx Qdy为全微分式时 求其原函数u x y 的过程 与路径无关 可选平行于坐标轴的折线作为积分路径 如图取为积分路径 得 如图取为积分路径 得 例2 验证 在整个坐标平面内是某个函数u的全微分 并求u 在整个坐标面上是某个函数的全微分 注 起点可以任选 一般选原点 原函数可以相差一个常数 练习 解 或 例3 解 全微分方程及其求法 定义 若有全微分形式 例如 所以原方程是全微分方程 全微分方程 全微分方程的解法 1 应用曲线积分与路径无关 则全微分方程的通解为 例1 这是全微分方程 方程的通解为 故 故 例1 解 是全微分方程 将左端重新组合 原方程的通解为 例2 用直接凑全微分的方法 内容小结 1 格林公式 2 等价条