数学建模 梁宝平 徐杰.doc

运动员参赛问题电子 1034 梁宝平 569244电子 1034 徐 杰 569180摘要 我们学校每年11月初，举行大一新生运动会，我们为了比赛的精彩我们在全院进行选拔，但我们学院有六个分院（系），为了公平的选举我们显然不可以按传统的比例分配的方法）我们把学校的全体运动员的选拔利用Q值法来选拔 ，我们在建模的过程中对全院的一年级人数做了统计，我们调查了学校的部分和体育有关的项目，我们建立了该模型。我们在选运动员的时候我们采用抽样调查方法，我们为了研究的方便假设每个班50人，我们采用特殊到一般的方法，不是对所有的院（系）都进行研究。我们得到通项和后，同理求解即可。我们的模型通俗易懂，以下是我们建模的过程.一 问题的分析1我们定义了一个指标来衡量选拔的公平记做P，每增加一次标记加一记做PN（其中N属于全体整数）；2我们用我们的指标来设计一套合理的方案；3如果学院（系）数或班级数有变化，我们的方案应要做出调整；4结合实际我们比赛的成绩以学院为单位的，因此我们只要比较两个学院的总的班级数即可.二 问题的假设1.为了研究的方便我们给每个院编号并且标出班级数：A（机械工程学院46） B(电气电子工程学院48) C（计算机工程学院21）D（经贸管理学院23） E（人文学院4） F（设计艺术系11）2.因为每个班级的人数相同因此我们只要比较每个分院的班级数即可；3.运动员是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；4.每个系别有有限个人,运动员是按各集体的人员多少来分配的；5.每个系别的每个人被选举都是等可能的；6.在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.三 符号说明某系别的运动员人数（a,b,c,d,e,f,表示每个分院的运动员人数）P：表示某系别的学生人数（AA,BB,CC,DD,EE,FF,GG分别表示A B C D E F G F各分院的人数）；q：表示全院学生人数总数；N：表示总的运动员人数；Q：表示某系的值；n:每院的运动员总数。四 模型建立和求解 通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以出下结论： -(1)目标:建立公平的席位分配方案.4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值设A,B两院人数分别为；分别占有 和运动员总数,则两方每个席位所代表的人数分别为 和 .为了研究的方便，我们对A,B两院的运动员进行选拔，得到通项，在同理对C，D，E，F分别进行讨论：我们称 为.例 则； 又 则由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值. 若 则称 为对A的相对不公平值, 记为 ；若 则称 -(2) 为对B的相对不公平值 ,记为 .4.2给出相对公平的席位分配方案如果两院分别占有和位运动员,利用相对不公平值和讨论,当运动员数增加1个时,应该分配给A院还是B院.不妨设,即对A院不公平,当再分配一个运动员时,有以下三种情况：I .当时,这说明即使给A增加1个运动员,仍然对A不公平,所以这一个运动员显然应给A院.II.当时,这说明给A增加1个运动员,变为对B院不公平,此时院B有的相对不公平值为: -（3）III.当时,这说明给B增加1位运动员,将对A不公平,此时对A的相对不公平值为: -（4）因为公平选拔运动员的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果 -（5）则这1位运动员给A院,反之这1位运动员给B院.由(3)(4)可知,(5)等价于 -（6）不难证明上述的第I种情况也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1位运动员于应给A院,反之给B院.若记:则增加的1位运动员给Q值大的一方.五 思考 上述方法可以推广到有个分院选拔运动员的情况.设第院人数为,已选有个运动员.当运动员增加1位运动员时,计算:则增加的1位运动员应分配给Q值大的一方.这种席位分配的方法称为Q值法. 六 模型的分析和评价模型的优点：1. 在Pi/i不相等的情况下，尽可能将不公平降低到最低限度，即最大限度的保持公平;2. 相对传统方法我们的误差更小，公平性更强；3. 我们采用特殊到一般的方法减少了运算量便于求解.模型的缺点：1. Q值法不能解决“分配资格”问题，且在总名额比较少或参加人数相差比较大的时候也可能存在较大“不公平”；2. 在实现中每班人数不一定有50人，存在一定的误差；3. 当i1时，Qi才有意义，这种方法要求参与分配的各方至少已有一个名额.模型的推广： 选班委，各种选举，分物资等七