微积分第10章总结.ppt

第十章微分方程 1 微分方程的基本概念 微分方程的定义 含有未知函数的倒数 或微分 的方程 称为微分方程 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程未知函数为多元函数 从而出现偏导数的微分方程称为偏微分方程 如 均为微分方程 简称为方程 删掉偏微分方程 微分方程的阶的定义 微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数 称为微分方程的阶 N阶常微分方程的一般形式是 主要问题 求方程的解 微分方程的解的定义 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 通解 解的图象 微分方程的积分曲线 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 10 2一阶微分方程 10 2 1可分离变量的方程10 2 2齐次方程10 2 3一阶线性微分方程 解答步骤 f x g y 分别是x y 的连续函数 g y 0 对x y分别积分 的原函数为G y f x 的原函数为F x G y F x C 例题 齐次方程 解题步骤 注意 齐次方程中x与y一般是不能分离的 令 对y ux两边分别微分 dy udx xdu 代入原式 对其分离变量 两边分别积分 将 代入即得出通解 例题 令y ux dy xdu udx代入上式 分离变量 得 两边同时积分 一阶线性微分方程 解题步骤 转化为 对应齐次微分方程 一阶线性微分方程的解 对应齐次方程的通解 自身的特解 分离变量 两边同时积分 令c c x dui 对应齐次方程的通解 代入原式 将其求导一同代入原式 再对其积分 自身方程的通解 例题 求微分方程 满足x 1 y 1的特解 积分 令c c y 将x c y y及 代入原方程得 C y y c X y y c 将x 1 y 1代入上式得c 2 特解 10 3高阶微分方程 N阶线性微分方程解的结构N阶线性微分方程的一般形式 y n a1 x y n 1 an 1 x y an x y f x 其中a1 x a2 x an x f x 都为自变量x的已知函数 若f x 不等于0 则称方程为非齐次线性微分方程 非齐次线性方程 若f x 全等于0 则称方程为n阶齐次线性微分方程 齐次线性方程 函数组的线性相关与线性无关 线性相关 定义在区间 a b 上的函数组y1 x y2 x yk x 若C1 C2 Ck 不全为0的常数 等式C1y1 x C2y2 x Ckyk x 0恒成立 x属于 a b 线性无关 在区间 a b 上 C1y1 x C2y2 x Ckyk x 0只有在C1 C2 Ck全为0的时候才能成立 当k 2时 如果存在非0常数C 使得y1 x Cy2 x 则函数y1 x 与y2 x 线相关 否则线性无关 定理若是齐次方程式的解 则 k 1 2 3 n 也是齐次方程式的解 定理若y1 x yn x 是n阶齐次线性微分方程的n个线性无关的解 则n阶齐次线性微分方程的通解 yc x C1y1 x C2y2 x C1y1 x 定理若是n阶非齐次线性微分方程的一个特解 是n阶非齐次线性微分方程的对应齐次方程的通解 则n阶非齐次线性微分方程的通解就是 注记 以上定理给出了求解n阶非齐次线性微分方程的方法 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性方程的一般形式 a b是已知的常数 f x 是已知的函数相对应的齐次方程 求二阶齐次线性方程的通解步骤 步骤1根据方程的一般形式找出对应的齐次方程步骤1将齐次方程转化为特征方程并求出特征根 删除 步骤2在复数范围内讨论特征根 分为3种 1 特征根为相异实根当 特征方程有两相异实根 由此 方程特解为 所以 通解为 例题 求方程的通解解 由题知 特征方程为解得因为是相异实根 所以有两个特解因此 通解为 2 特征根为重根当 且重特征根为有一特解 并且可以验证也是特解所以 通解为 例 求方程的通解解 由题知 特征方程为解得因为实根相同 所以有一特解为 则另一特解为因此 通解为 3 特征根为共轭复根当 且共轭复根为 其中为虚数单位令即 实部 虚部 不带符号 通解为 二阶常系数非齐次线性方程的通解 方法 待定系数法步骤 1 求出齐次方程的通解2 根据f x 的形式 设出试解函数3 将试解函数代入方程 求出试解函数的待定系数 4 求出方程的通解 例 求方程的通解解 由题知 特征方程为解得因为是共轭复根 所以令因此 通解为 此例可删除 的几种常见形式下的试解函数 例 求的通解解 对应齐次方程的通解 例 求方程的通解 解 解出对应齐次方程通解 例 求方程的通解 解 得特征根通解为 例 求方程的通解 解 得特