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第2节 消元第一课时 代入消元法（1）要点突破一、代入法解二元一次方程组由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。代入法解二元一次方程组需要注意以下几点：正确用代入法解二元一次方程组的一般步骤；从方程组中选一个系数比较简单的方程变形；求得的两个未知数的值要用大括号括起来。二、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成yaxb（或xayb）的形式。将yaxb（或xayb）代入另一个方程中，消去y（或x）得到一个关于关于x（或y）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；把求得的x（或y）的值代入yaxb（或xayb）中，求出y（或x）的值。把求得的x，y的值用“”联立起来，就是方程组的解。典例剖析：例 （2007年南京市）解方程组思路探索：由xy4变形得y4x，把代入求得x的值。解析：由得：y4x把代入得：解得：x3把x3代入得：y1这个方程组的解为规律总结：利用代入法解二元一次方程组的一般步骤：1选择一个系数比较简单的二元一次方程，把这个方程化成（或）的形式。2将（或）代入另一个方程，得到一个关于x（或y）的一元一次方程，解这个一元一次方程，求出x（或y）的值。3将求得的x（或y）的值代入（或）中，求出另一个未知数。课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、已知，用含x的式子表示y _，用含有y的代数式表示x_.2、方程的一个解中，那么这个解中，y_.3、若方程的解也是方程的解，则x_，y_.4、用代入消元法解方程组 可以消去未知数_，把_代入_.5、若是方程的解，则k _。6、若是方程组的解，则m_，n_.二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）7、下列用代入法解方程组 的步骤，其中最简单，正确的是（ ） A、由，得，把代入，得B、由，得，把代入，得C、由，得，把代入，得D、由代入，得（把3x看作一个整体）8、对于方程3x2y50，用含y的代数式表示x，应是（ ） A、y6x10 B、 C、 D、9、若，则的值是（ ） A、14 B、4 C、12 D、1210、已知x3y0，则的值为（ ） A、 B、 C、3 D、311、若方程组的解x与y相等，则a的值等于（ ） A、4 B、10 C、11 D、1212、已知是方程组的解，则a，b间的关系是（ ） A、 B、 C、 D、三、细心做一做，你会成功（共40分）13、用代入法解下列方程组（1） （2）14、用代入法解下列方程组（1） （2）15、已知是方程组的解，求a，b的值.16、已知xy30，xy20，求的值.第二课时 代入消元法（2）要点突破本节课继续学习代入消元法，代入消元法的第一步是选一个系数比较简单的方程，怎么的方程才是系数比较简单的方程，并不是系数越小，要根据具体问题具体讨论，如这个方程中x的系数成倍数关系，我们就应该把第一方程直接代入第二个方程。学习了本节课的内容，你还能发现许多巧妙的代入方法。典例剖析：例1：解方程组思路探索：本题如果直接使用代入法解题，计算过程较繁琐，仔细观察题目我们可以发现两个方程中y的系数正好呈倍数关系，因此我们可以把6y看作一个整体代入（2）式。解析：由方程（1），得把代入方程，得。整理，得规律总结：本题是将6y作为一个整体代入方程（2），这种方法叫整体代入法。整体代入法适合两个方程中有呈倍数关系的的方程组，是解方程或方程组常常采取的一种方法。 例2：（2007上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额年份20012003200420052007降价金额（亿元）543540思路探索： 我们可以设表中缺失的两个数据为x、y，根据题目中提供的两个相等关系“已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍”“累计降价的总金额为269亿元”列出两个二元一次方程，从而得出一个二元一次方程组。解析：设2003年和2007年的药品降价金额分别为亿元、亿元 根据题意，得解方程组，得答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元规律总结：列二元一次方程组解决实际问题，设出两个未知数，根据题目中的两个相等关系，列出一个二元一次方程组，解这个二元一次方程组。 课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、在式子中，当x5，y1时，这个式子的值为0；当x3，y5时，它的值是28，则m_，n_.2、已知方程组与的解相同，则a_，b_。3、已知a3b2ab151，则的值为_。4、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，则k_。5、若x时，关于x、y的二元一次方程组的解，x、y互为倒数，则a2b_。6、把一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm，得到一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等，则原来长方形的长为_，宽为_。二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共20分）7、解方程组的最好方法是（ ） A、由（1）得，再代入（2） B、由（2）得，再代入（1）C、由（1）得，再代入（2） D、由（2）得，再代入（1）8、已知和都是方程的解，则（ ）A、 B、 C、 D、9、已知甲、乙两人的收入之比为32，支出之比为74，一年后，两人各余400元，若甲的收入为x元，支出为y元，可列出的方程组为（ ） A、 B、C、D、10、古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是（ ）A5B6C7D8三、细心做一做，你会成功（共50分）11、已知方程的解为及，求3m7n的值.12、解方程：（1） （2） （3）13、已知方程组有正整数解，求k的值.14、解方程组：15、开学后书店向学校推销两种素质教育图书，如果按原价买这两种书共需880元，书店推销时，第一种书打了八折，第二中书打了七五折，结果两种书共少用了200元。那么这两种书的原价各是多少元？第三课时 消元（3）要点突破一、加减消元法通过加减达到消元目的，从而求得方程组的解的方法叫做加减消元法。加减消元法的理论依据是：等量加等量，和相等；等量减等量，差相等；互为相反数两数相加得0。二、什么时候可以运用加减消元法当方程组中两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，我们就可以运用加减消元法，运用时我们只需将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，注意：正确用加减法解二元一次方程组的一般步骤；求解不完整，只求一个未知数的值；方程两边同乘以一个不等于零的数，容易出现漏项。运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等，那就将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，就可以消去该未知数。典例剖析：例 :（2007年长春）方程组的解是（ ）A、B、C、D、思路探索：观察方程组，我们可以发现y的系数分别是3和3，它们是一对互为相反数，我们将方程和方程相加就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。解析：得：3x3x1把x1代入方程代入方程 13y4 y1 解得：规律总结：当二元一次方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数时，这时我们可以将两个方程通过相加或相减达到消元的目的。课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、方程组中，x系数的特点是_，方程组中，y的系数的特点是_，这两个方程组用_消元法解较方便。2、用加减法解方程组 解：，得_，即_. ，得_，即_. 所以方程组的解为_.3、用加减法解方程组可将方程两边同乘以_，再与方程相_。4、方程组的解_（填“是”或“不是”）方程的一个解。5、若和能同时成立，则a_，b_。6、一个两位数的十位数与个位数的和是9，如果这个两位数加上27，那么恰好成为个位数与十位数对调后组成的两位数，求原来的两位数为_。二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）7、用加减法解方程组时，得（ ） A、 B、 C、 D、8、已知，那么的值是（ ） A、1 B、0 C、1 D、29、方程组将23得（ ） A、3y2 B、4y10 C、y0 D、7y1010、关于x、y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，则a( ) A、3 B、2 C、7 D、611、若方程组的解中x与y相等，则k的值为（ ） A、1 B、 C、 D、12、已知方程组的解是，则m，n的关系是（ ） A、 B、 C、 D、三、细心做一做，你会成功（共40分）13、用加减消元法解方程组 （1） （2）（3） （4）14、甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C，解得 .求A、B、C的值。15、若方程组与有公共解，求、的值.16、下面给出的三个方程组，及的解相同吗？你能得出什么结论？将上述三方程组推导为一般形式，并证明你的结论。第四课时 消元（4）要点突破一、加减消元法的一般步骤：（1）根据“方程两边都乘（或除以）同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程”的原理，将原方程组化成有一个未知数的系数的绝对值相等的形式，即同一个未知数的系数相等或互为相反数。（2）根据“方程两边都加上（或减去）同一个数，所得方程与原来方程是同解方程”的原理，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。（5）将两个未知数的值用“”合写在一起。注意：事实上，所有的二元一次方程都可以用“代入法”解，也都可以用“加减法”解。但是，通过比较，我们发现对于同一个方程组，用两种方法解有“繁”、“简”之别。所以，我们应该根据方程组的结构特点，选择最优方法。典例剖析：例 解方程组方法1：（代入法）由得 把代入得 ， 解得：y把y代入得， 方法2：（加减法）原方程组可化为：则2得:7x1，解得，把，代入式得：，解得：y方法3：（参数法）设k，则x2k，y=3k把x2k，y=3k代入得：，解得：k，y，规律总结：二元一次方程的解法不一定是唯一的，我们在解题过程中，一定要具体题目的特征，选择恰当的方式解方程组。 课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、解二元一次方程组的基本思想是_，方法有_和_。2、已知，则x与y的关系式是_。3、在ABC中，AC25，BA10，则B_。4、正整数m为_时，方程组的解是正整数。5、当方程组的解为时，a_，b_ .6、等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是_。二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）7、如果xy32，并且，则x与y中，较小的值是（ ） A、3 B、6 C、9 D、128、已知是方程组的解，则的值为（ ） A、 B、 C、16 D、169、若x、y的值满足，则 xy的值为（ ） A、无解 B、2 C、2或1 D、2或110、当x2时，代数式的值为6，那么当x2时，的值为（ ） A、6 B、4 C、5 D、111、已知与都是方程的解，则k与b的值为（ ） A、，b4 B、，b4 C、，b4 D、，b412、某船的载重量是260t，容积是1000m3，现有甲、乙两种货物，甲种货物每吨的体积是8 m3，乙种货物的体积是每吨2 m3，要想充分利用这船的载重量和容积，甲、乙两种货物应装的吨数依次是（ ） A、100，160 B、80，180 C、120，140 D、180，80三、细心做一做，你会成功（共40分）13、解方程组：（1） （2）（3） （4）14、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了式中的x的系数，解得，乙看错了方程中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出方程组的解。15、已知方程组，求（1）当m为何值时，x、y的符号相反，绝对值相等；（2）当m为何值时，x比y大1。16、已知，求的值。8.2消元自测题夯实基础一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）1、方程组若用代入法解，最好对方程 变形，用 的代数式表示 .2、如果是方程组的解，那么a= ,b= .3、如果方程组与方程组的解相同，则a= ,b= .4、已知|x3y6|x2y1|=0，则x= , y .5、当m= 时,方程组得解互为相反数.6、使满足方程组的x、y的值的和等于2，则m22m 二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）7、如果，并且x3y=27，则x，y中较小的是（ ） A、12 B、9 C、6 D、38、以为解的二元一次方程组（ ） A、有且只有一个 B、有且只有两个 C、有且只有三个 D、有无数个9、将二元一次方程变形，正确的是（）A、B、C、D、10、下列说法错误的是（ ） A、方程组的解满足方程2xy=3 B、方程3x2y=5的解一定是方程组的解 C、方程组的解是方程5xy=2的解 D、如果关于x、y的方程组与方程组11、若关于x、y的方程组的解，也是方程3x2y17的解，则m为( )A、3B、1C、1D、212、已知是方程组的解，则间的关系是（）A、B、C、 D、综合创新三、细心做一做，你会成功（共40分）13、选择你认为简便的方法，解下列方程.(1) (2) (3) (4) 14、甲、乙两个同学各有世界名著若干本，如果甲送给乙10本，那么两人的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的2倍.温原来甲、乙各有书多少本？15、某校七年级学生春游，若租用48座的客车，则正好坐满；若租用64座的客车，则比48座的客车少用一辆，并且也恰好坐满.请你猜一猜若租用48座的各车需要几辆？若选择租用64座的客车需要几辆?16、对于有理数x、y定义一种新运算：xy=axby1,其中a、b为常数，等式右边是通常加法与乘法运算.已知35=15，47=28，求a、b和228.2第一课时1、53x 2、4 3、3 2 4、y 5、3 6、3 2 7、D（点拨：D项代入后直接得到一个整系数的一元一次方程，而其他选项代入后还有分母） 8、C（点拨：把y看作已知数，x看作未知数，解出x的值即可） 9、B（点拨：由题意可得：，解出x1，y 2，然后代入代数式的求值） 10、B（点拨：将x3y代入即可） 11、C（点拨：把题中所有的x用y换掉，从而求出x、y的值，然后将x 、y的值代入第二个方程） 12、D（点拨：把代入方程组，然后消去c即可得到关于a，b的二元一次方程组）13、（1）（2）14、（1）（2）15、解：把代入得：，解得：16、解：xy30，xy20，x25,y5把x25,y5代入得：12.57.3第二课时：1、1 5 2、2.5 1 3、0 4、2 5、11.5 6、8 2 7、C（点拨：m的系数成倍数关系，我们选择较小的系数代入较大的系数） 8、B（点拨：将和分别代入，得到两个关于a、b二元一次方程组） 9、C（点拨：由“收入之比为32，支出之比为74，甲的收入为x元，支出为y元”得到乙的收入、支出分别为、） 10、A（点拨：设原来驴子和骡子所驮的货物分别为x袋和y袋，列出两个关于x、y的二元一次方程组） 11、100 12、（1）（点拨：把看作一个整体） （2）（点拨：把看作一个整体） （3）（点拨：设k，把x5k、y2k代入方程）13、解：的正整数解有：，把，分别代入方程，求出k1或214、15、解：设的一种书的原价为x元，第二种书的原价为y元。根据题意，得，解得：答：略第三课时;1、相等；互为相反数；加减消元法 2、； 3、2 减 4、是 5、1 2 6、36 7、A（点拨；两个方程相减时，左边减左边，右边减右边，将同类项相减） 8、A（点拨：这个二元一次方程组成轮对称，可将即可得到的值） 9、C（点拨：把第中的每一个方程都乘以2，减去第个方程的每一项都乘以3） 10、B（点拨：由方程组解出x3a，ya,然后将这组解代入后面的二元一次方程） 11、A（点拨：由中的两方程相减得到一个关于x、y的二元一次方程，再加上方程xy，解得xy） 12、C（点拨：将代入方程组得到两个关于m、a、n的方程，两方程运用加减法消去a） 13、（1），（2），（3），（4） 14、A，B，C515、a1,b116、三个方程的解相同，都是，一般形式：的解为第四课时：1、消元 代入法 加减法 2、xy8 3、75 4、2或4 5、3 0 6、3或7 7、B（点拨：设x3k，y2k，并代入方程求出k3） 8、C（点拨：将代入方程组，然后，即可求出ab和ab的值） 9、D（点拨：两数相乘等于0，只需其中一个等于0就可以了） 10、B（点拨：将x2代入得到8a2b5，然后将x2代入求解） 11、A（点拨：将与代入，得到两个关于k、b的二元一次方程组） 12、B（点拨：设甲种货物x吨，乙种货物y吨，根据重量和体积列出两个关于x、y的二元一次方程）13、（1），（2）