湖南大学微积分29-第29讲一元微积分应用.ppt

一元微积分学 大学数学 一 第二十九讲一元微积分的应用 二 脚本编写 刘楚中 教案制作 刘楚中 函数 曲线 的凹凸性 拐点 函数图形的描绘 第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值 最大最小值 判断函数的单调性 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性 凸凹性证明不等式 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法 能熟练求解相关变化率和最大 最小值的应用问题 知道平面曲线的弧微分 曲率和曲率半径的概念 并能计算平面曲线的弧微分 曲率 曲率半径和曲率中心 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法 熟练掌握 微分元素法 能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量 平面图形的面积 旋转曲面的侧面积 平行截面面积为已知的几何体的体积 平面曲线的弧长 变力作功 液体的压力等 能利用定积分定义式计算一些极限 一 曲线的凹凸性 拐点 二 曲线的渐近线 三 函数图形的描绘 第六章一元微积分的应用 第三节曲线的凹凸性 函数图形的描绘 我们说一个函数单调增加 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗 一 曲线的凹凸性 拐点 它的图形的形式不尽相同 一般说来 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的 上方 或 下方 的问题 简单地说 在区间I上 曲线弧段位于相应的弦线上方时 称之为凸的 曲线弧段位于相应的弦线下方时 称之为凹的 定义 1 曲线凹凸性的定义及其判别法 有何体会 判别可微函数的凸凹性主要是对 进行比较 有什么公式能把以上的函数值与函数的 二阶导数联系在一起呢 泰勒公式 结论是正确的 我们是利用函数的连续 性将开区间内的结论延伸到了闭区间上 以上过程实际上证明了下面的判别曲线 凹凸性的一个方法 定理 该函数的图形请自己绘出 解 解 解 比较例3和例4 发现使得曲线所对 的分界点 我们的兴趣 因为它可能是曲线凹凸性 应的函数的二阶导数等于零的点引起了 连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 称为曲线的拐点 2 曲线拐点的定义及判别法 定理 判别拐点的必要条件 定理 判别拐点的充分条件 根据拐点的定义立即可证明该定理 定理 判别拐点的充分条件 求拐点一般步骤 拐点 拐点 解 解 解 你清楚它们之间的联系吗 画画图就能搞清楚 中学就会求了 若动点P沿着曲线y f x 的某一方向无 限远离坐标原点时 动点P到一直线L的距离 趋于零 则称此直线L为曲线y f x 的一条 渐近线 二 曲线的渐近线 定义 水平渐近线 垂直渐近线 想想 怎么求a b 斜渐近线 解 解 曲线无水平渐近线 函数间断 曲线有斜渐近线吗 解 所以 该曲线无水平渐近线和垂直渐近线 解 现在给定一个函数 我们可以讨论它的 定义域 值域 奇偶性 有界性 周期性 连续性 间断点 可微性 单调性 极值 最值 凹凸性 拐点 渐近线 零点位置 用极限讨论函数的变化趋势 用泰勒公式将函数离散化 作函数图形的一般步骤如下 1 确定函数的定义域 观察奇偶性 周期性 2 求函数的一 二阶导数 3 列表 确定函数的单调性 凹凸性