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文档简介

一元微积分学 大学数学 一 第十七讲高阶导数 脚本编写 教案制作 刘楚中彭亚新邓爱珍刘开宇孟益民 第四章一元函数的导数与微分 本章学习要求 理解导数和微分的概念 熟悉导数的几何意义以及函数的可导 可微 连续之间的关系 熟悉一阶微分形式不变性 熟悉导数和微分的运算法则 能熟练运用求导的基本公式 复合函数求导法 隐函数求导法 反函数求导法 参数方程求导法 取对数求导法等方法求出函数的一 二阶导数和微分 了解n阶导数的概念 会求常见函数的n阶导数 熟悉罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理和泰勒中值定理 并能较好运用上述定理解决有关问题 函数方程求解 不等式的证明等 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限 第三节高阶导数 第四章一元函数的导数与微分 一 高阶导数的概念 高阶导数的运算法则 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数 一 高阶导数的概念 推而广之 按照一阶导数的极限形式 有 和 一个函数的导函数不一定再可导 也不一定连续 如果函数f x 在区间I上有直到n阶的导数f n x 且f n x 仍是连续的 此时低于n阶的导数均连续 则称f x 在区间I上n阶连续可导 记为 如果f x 在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续 则称函数f x 是无穷次连续可导的 记为 解 注意 当k n时 综上所述 解 多项式 的高阶导数 解 对多项式而言 每求一次导数 多项式的次数降低一次 n次多项式的n阶导数为一常数 大于多项式次数的任何阶数的导数均为0 求y ex的各阶导数 解 y ex的任何阶导数仍为ex 求y ax的各阶导数 解 运用数学归纳法可得 求y lnx的各阶导数 解 设 类似地 有 则 故由数学归纳法得 解 注意这里的方法 即 类似地 有 解 看出结论没有 运用数学归纳法可以证得 类似地 可求得 解 解 二阶导数经常遇到 一定要掌握 解 由复合函数及反函数的求导法则 得 解 高阶导数的运算法则 设f x g x 有直到n阶的导数 则 1 2 莱布尼兹公式 两个基本公式 由于 故 解 解 由莱布尼兹公式 证 看出一点什么没有 你打算怎么处理此式 对上式关于x求导n次 故 即 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数 原则是 按照高阶导数的定义 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导 对方程两边关于x求导 解 想想如何求二阶导数 对方程两边关于x求导 得
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