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第一章转子动力学基础 本章主要内容 涡动分析 临界转速重力影响弹性支承影响非轴对称转子影响 稳定性问题初始弯曲影响等加速过临界的特点 1 第一节转子的涡动 旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统 这与其他振动系统相同 区别 转子是旋转的涡动 既有自转 又有公转 是一种复合运动 不平衡力引起的同步正进动分析 2 第二节Jeffcott转子涡动分析 Jeffcott转子 垂直安装等截面对称转子 不计重力影响 一 Jeffcott转子运动微分方程Jeffcott转子示意图薄盘 h D 0 1 偏心矩 e定坐标系 oxyz 基点 设自转 为常数 确定的运动 x t y t 或r t t 假设 扭转刚度无限大 不计扭振 忽略轴向位移 刚性支承轴的弯曲刚度为EJE 弹性模量J 截面惯性矩 3 轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为 k 轴的刚度系数对称简支梁中点刚度为 粘性外阻尼力在坐标轴上投影为 c 粘性阻尼系数由牛顿定律可得 由几何关系可知 4 两边对时间求两次导数得 代入牛顿方程得点的运动微分方程根据动量矩定理 可得圆盘绕重心c转动的微分方程 对于稳态涡动 5 代入牛顿方程得点的运动微分方程化为标准形式为 式中 弹性轴无阻尼横向振动固有频率相对阻尼系数运动微分方程与线性阻尼系统强迫振动相同 可设解为 6 代入运动微分方程解得 点作圆周运动 参照极坐标几何关系 故运动半径为轴的动挠度r 为动挠度r与偏心矩e间的相位差 且有 7 8 低转速区 共振区 高转速区 圆盘重边飞出 圆盘轻边飞出 自动定心或质心转向 9 临界转速定义 ISO 系统 位移 共振时主响应的特征转速 主响应 轴颈运动或转子挠曲对于Jeffcott转子 临界转速对应常以 cr或 c表示 若以转 分或转 秒为单位 则有或将转子挠度表达式代入临界转速条件得解得可见 阻尼总使临界转速大于横向振动固有频率 与机械振动中的阻尼使固有频率降低作用相反 当转子系统阻尼很小时 可近似认为 此时有 10 p时 2 与阻尼系数 大小无关 利用这一特点可测取转子系统的p 在小阻尼情况下可近似为临界转速 当 0时 p时 0 三点在一条直线上 p时 三点在一条直线上 p时 2 r 不同转速下圆盘偏心位置见图1 14 11 同步正涡动 或正协调进动 同步反涡动 或反协调进动 同方向 正涡动 或非协调正进动 反方向 反涡动 或非协调反进动 当转子圆盘不在中间时 即使是无阻尼系统 其临界转速 p 主要是陀螺力矩影响 同步正进动轴的受力 12 例 已知 轴长l 57cm 直径d 1 5cm 轴材料弹性模量 圆盘厚度h 2cm 直径D 16cm 材料密度 不计阻尼 求 1 临界转速 cr2 e 0 1cm 0 6 cr 0 8 cr时的动挠度r及支反力幅值F 解 弹性轴质量 圆盘质量 弹性轴中点刚度 不计轴质量时临界转速 13 计入弹性轴等效质量 按照振动理论 梁在中点的等效质量为原质量的17 35 则临界转速为 0 6 cr时挠度为 支反力幅为 F kr 74 562N 轴承力与重力之比为 14 0 8 cr时挠度为 支反力幅为 F kr 235 68N轴承力与重力之比为 15 第二节刚体绕定点的转动 力学模型 连续质量模型 弹性体集中质量模型 盘轴系统本章以盘轴系统为分析模型刚体在空间有六个自由度 沿三个垂直轴方向的平移和绕这三个轴的转动 理论力学 刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动 平动运动规律与基点选择有关 转动运动规律与基点选择无关 1 2 1描述定点刚体位置的欧拉角刚体球铰定点约束 约束三个平动自由度 只有三个转动自由度 16 定坐标系oxyz与动坐标系的关系见表1 1和图1 6关系式为 17 各方向余弦存在关系 因此 九个方向余弦中只有三个是独立的 自由度数 方向余弦求解复杂 采用夹角 欧拉角表示 多种定义 1 第一种定义 图1 7 1 动坐标与静坐标重合 先绕oz轴转动 角 进动角 到达oNN1z oN称为节线 右手法则2 绕oN轴转 角 方位或挠曲角 到达3 绕转 角 自转角 到达引入坐标轴矢量 18 再引入oN oN1及的单位矢量 则有 由于 得到 19 2 第二种定义 图1 8 1 动坐标与静坐标重合 先绕oy轴转动 角 到达ox1yz1 右手法则2 绕ox1轴转 角 到达3 绕转 角 自转角 到达 结合体现进动与方位角 令ox1 oy1 oz1单位矢量为则有 20 由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦 21 欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为或 1 2 2刚体绕定点运动的角速度及速度分布刚体的角速度为或所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴 瞬时转动轴时刻不同 但总通过定点 第一种定义法得到矢量向定坐标系投影得 22 利用方向余弦关系得向动坐标系投影得类似 由第二种定义可得向定坐标系和动坐标系的投影刚体上任一点瞬时速度矢量为 23 将速度向定坐标系和动坐标系投影得刚体上各点角加速度和加速度为 1 2 3刚体作定点转动时的动量矩定理动量矩定理 刚体对定点o的动量矩对时间t的导数 等于外力系对该点的主矩则有对有集中质量的刚体 动量矩为刚体在绝对运动中对质心的动量矩 等于刚体随质心平移动坐标系中运动的相对于质心的动量矩 24 因为由速度合成定理 则刚体相对质心的绝对运动动量矩为由于刚体对质心的质量矩等于零 即因此若将固定点取在质心o上 则有在相对随质心平移的动坐标系中 刚体对质心动量矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩 刚体相对质心的动量矩定理 因此 对质心动量矩的计算只需考虑相对转动 刚体作定点转动时 有刚体动量矩为 25 向动坐标系投影得式中 为刚体对轴的惯性矩为刚体对 轴的惯性积为刚体对 轴的惯性积对一般具有圆截面的均质轴对称转子有对均质薄圆盘有式中 m 圆盘质量R 圆盘半径类似可得于是 26 如果为刚体对o点的主惯性轴 则各惯性积为零 即于是有一般情况下的矢量关系如图1 9 若刚体对动坐标系的惯性矩为常数则有式中 欧拉动力学方程 27 1 2 4刚体运动的动能能量定理 拉个朗日方程 运动微分方程设刚体质量为m 基点运动方程为x t y t z t 以基点为原点的动坐标系是刚体的惯性主轴 惯性矩分别是 则刚体的动能为通常转子沿oz轴方向的运动为二阶小量 可忽略不计 即有z t 0故转子的动能计算公式为 28 第三节单盘偏置转子的涡动 回转效应 转动惯量 反应刚体质量分布的力学参数 中心极转动惯量 绕通过执行的对称轴的转动惯量 中心直径转动惯量 绕通过质心的任一直径的转动惯量均值等厚度圆盘 其转动惯量为 圆盘的回转效应 转动的刚体有力图保持转轴方向不变的特性 转动物体的惯性的体现 29 三个圆盘的动量矩 的方向沿轴线的切线方向 若转子以角速度 绕z轴转动 则动量矩的变化率 30 动量矩定理 圆盘在轴上的反力矩 圆盘的回转力矩 31 回转效应 由于高速旋转圆盘的偏摆运动而使临界转速变化的现象 见图1 15 1 3 1单盘偏置转子运动微分方程假设 无阻尼 无偏心不计轴质量如图1 15 圆盘的轴线在空间画出的轨迹是个锥面 为分析方便 建立如下坐标系 图1 16 图1 17 1 定坐标系 oxyz2 随点平移坐标系 3 固联于动坐标系 32 其中 是轴挠度曲线的切线 为两正交直径 33 薄盘运动可以用xoz yoz平面投影x t y t 表示 采用第二种欧拉角定义有故可以用x t y t t t t 确定圆盘空间位置 描述运动状态 如图1 18 点的挠度x和转角 为解出盘对轴的作用力Fx和力矩Mx为 34 式中 式中 和Mx的转向如图1 18所示 在yoz平面也有类似公式 为了使力矩矢量都沿坐标轴正方向 My与Mx的转向规定相反于是有根据质心运动定理 代入力关系式得点横向运动微分方程为 35 化成标准形式 式中 由动量矩定理可建立圆盘绕点转动的运动微分方程 由于 都是小量 故有 根据图1 17 三个轴的角速度为 显然 为圆盘的三个中心主惯性轴 令圆盘对轴转动惯量为Ip 对 轴转动惯量为Id则有 36 对轴的角速度就是自转角速度 即 故对三个轴的动量矩为 分别向 轴投影得 根据对质心的动量矩定理 对圆盘有由于是质心 所以重力对 的矩为零 假设作用圆盘上的所有外力对的矩为零 则由上式得 常数 37 在此条件下 可得盘的偏摆运动微分方程 与方程联立求解 1 3 2单盘转子涡动分析设联立方程的解为 代入联立方程 得到A B C D的一次齐次方程组 根据非零解的条件 方程系数行列式的值应等于零 由此得到关于自然频率 的高次方程 将解得的 代回联立方程 38 可得相应的一组A B C D之间的比值 转子运动稳定时 动挠度曲线在动坐标系中是不变的 只是绕着oz轴进动 进动角 t 一般从ox轴量起 令总的动挠度为r 挠曲角为 由图1 19几何关系得显然 r 常数 且 常数将以上关系式代入联立方程得 39 由此可见 弹性轴发生弯曲不仅有离心力 还有回转力矩的影响 回转力矩改变了轴的弯曲刚度 上式是关于r 的齐次方程 由非零解条件得 展开后得 即上式可求得 得四个根 且随 而变 令 为同步正进动 则方程为 40 存在一个正根 负根舍去 讨论 1 令频率方程为 解得 式中 为弹性轴点的横向刚度此时得到的频率数值上等于转子不旋转时的横向固有频率 即不计回转效应时转子临界转速 频率为 2 令为同步反涡动 频率方程为 41 有两个正根 仍然假设为薄盘 即Ip 2Id 为3 如果出现Ip Id的情况 如地面串联式离心压气机 可能使得在正同步涡动情况下为负值 此时陀螺力矩将降低临界转速 例 已知 轴长l 57cm 直径d 1 5cm 轴材料弹性模量 圆盘厚度h 2cm 直径D 16cm 材料密度 a l 4 b l 3 4 不计阻尼 求 临界转速 cr解 Id 50 192a l 4 14 25cmb l a 42 75cm3lEJ k11 5498 589N cmk12 k21 67161 07Nk22 1 考虑轮盘回转效应的临界转速为 42 1420208 1则 cr 30 2663 02转 分不考虑轮盘回转效应的临界转速为 回转效应提高临界转速百分比为对悬臂转子有类似结论 频率特性曲线如图1 21所示 43 第四节重力对临界转速影响 副临界 对水平安装的Jeffcott转子 重力影响 1 重力产生静挠曲 航空发动机 忽略 汽轮机 扬度2 质量偏心 交变力矩mgesin t 如图1 22薄盘极转动惯量为 Ip 式中 为回转半径轮盘角加速度为 产生一个切向惯性力 垂直分量为 式中的常值部分产生静挠度 交变部分在垂直方向投影作简谐变化 当 cr 2时 此时 动挠度达到极大值 副临界 44 1 4 1水平Jeffcott转子运动微分方程 水平安装的Jeffcott转子如图1 23无阻尼 盘在中间 无回转效应三点总在一条直线上 如图1 24 弹性恢复力投影为根据质心运动定理得绕质心轴线的动量矩为圆盘质量m对oz轴的动量矩为 45 根据动量矩方程有 即为了化简方程 作坐标变换 令变换后联立运动微分方程为 1 5 2水平Jeffcott转子涡动分析假设 Mz 0 则令 的初值为零 则 cr 2 t 代入运动微分方程第三式 联立方程的解为 46 式中 s mg k为圆盘重力作用下弹性轴跨中静挠度 根据图1 24的几何关系 圆盘质心运动方程为 进动由个分量组成 基频分量与偏心矩e有关 倍频分量与静挠度 s有关 例1 6 求第四节例子转子 重力作用下 副临界时两个运动分量幅值 解 基频分量为 e 3 0 1 3 0 0333cm倍频分量为 s mg k 0 0232cm可见各幅值较小 只有 s较大情况下 才能观察到明显副临界现象 轴横截面非对称是一个更为主要原因 下节讨论 47 第五节弹性支承单盘转子涡动分析 1 5 1弹性支承单盘转子的运动微分方程典型鼠笼式弹性支承结构见图1 25弹性支承单盘转子计算模型见图1 26 48 如图1 26 假设支承的质量 刚度 阻尼参数分别为 mb kx ky cx cy 支承转子的作用力为 由于阻尼存在 应用非保守系统的拉格朗日方程 式中 L T V 拉格朗日函数T 系统的动能函数V 系统的势能函数 系统阻尼的耗散函数Qj 作用在系统上的广义力qj 系统广义坐标n 系统自由度数 49 假设支承对称 自由度减为二个 xb t yb t 圆盘位于中间 自由度减为三个 xc t yc t t 系统共五自由度设圆盘角速度为常数 则系统缩减为四个自由度数 圆盘动能 支承动能 圆盘势能 支承势能 圆盘外阻尼耗散函数 支承粘性阻尼耗散函数 因假设 常数 合力矩为零 若忽略重力影响 则系统广义力为零 50 将以上各式代入拉格朗日方程得 1 5 2弹性支承单盘转子涡动分析为简化分析 不计阻尼 可设将其代入运动微分方程得 51 由第三式解得代入第一式得于是分母为零 则X达到无限大 即x方向的临界转速 cr 令即或由求根公式可得讨论 1 kx k 支承几乎不动 支承质量可视为零 mb 0 频率方程简化为 52 2 k kx 频率方程简化为 支承动刚度定义 作用在支承上的简谐激振力与力方向上的振动位移之比 与支承刚度 阻尼 参振质量有关 一般为复数 是随 而变化的曲线 特性 也称为位移阻抗 用i 除后 得到速度阻抗 也就是常用的机械阻抗 参见六章 3 同样 若x y方向互不耦合 则有频率方程化简为 y方向临界转速为 53 一般kx ky 所以通常X Y 因而盘心轨迹是一个椭圆 4 设kx ky 且k kx k ky 则有 表明转子首先发生支承运动 即转子刚体涡动运动轨迹为一椭圆柱面 图1 27 考虑转子转动惯量 还会出现一椭圆锥面 图1 28 为研究涡动随自转速度变化的性质 盘心运动采用复数表示 54 令 此时 Xc X Xs 0 Yc 0 Ys Y由复数关系式得 正 反进动两个分量相位角为 由前面公式可得椭圆长半轴a 短半轴b及长半轴与ox轴夹角 如果Xp Xr 则为正涡动 如果Xpky 则 cx cy a 当 0 YsXc则 Xp Xr 为正涡动 a Ys b Xc 55 b 当 cy时 Xc 0 Ys 则 a b Xc c 当时 Xc 0 Ys 0则 Xp0则 Xp0 Ys 0 且Xc Ys则 Xp0则 a b Xc g 当 cx时 Xc0 且 Xc Ys则 Xp Xr 为正涡动 a Xc b Ys h 当 时 Xc e Yc e则 Xp Xr 为正涡动 a b e 56 盘心运动轨迹和方向如图1 29 通常轴的两个方向刚度差异不大 两个临界转速靠得很近 一般不允许在临界转速附近停留 故一般只能看到正进动 57 第六节非轴对称单盘转子的涡动分析 实际转子非对称典型结构见图1 30假设支承刚度远大于轴的弯曲刚度 由于轴刚度不对称 重力激励频率为转速二倍 当转速到达临界转速一半时 会使动挠度达到极值 副临界 是引起副临界的重要原因 图1 31 58 1 6 1非对称轴的单盘转子运动微分方程 如图1 31 建立与定坐标系平行的坐标系 再建一动坐标系 令 为轴截面两个主惯性轴 转子以 绕轴转动 设截面两个主惯性矩为J J 相应弯曲刚度为 圆盘偏心为 相对动坐标系的相位角为 e则有 动坐标系中牵连惯性力为 在 轴上的分量为 哥氏惯性力的分量为 轴的弹性反力分量为 59 圆盘粘性外阻尼力分量为 式中 c 圆盘粘性外阻尼系数 弹性轴内阻尼力分量为 式中 ci 弹性轴内阻尼系数 分析见后面章节 转子受到的重力分量为 根据质心运动定理 参考图1 32 得令 60 质心运动方程为 为线性非齐次方程利用线性叠加原理可分别讨论重力和偏心的作用 1 6 2重力作用下非对称单盘转子的涡动重力单独作用时运动微分方程为 运动方程右端采用复数表示 并规定取其实部 有 61 设运动方程解为 代入运动微分方程得 求解上式 得若忽略阻尼 即令c ci 0 则 62 上式中都以实部为运动方程无阻尼情况下 取极值条件 即分母为零 则有令 代入上式得 通常 k k 1 k m 则有表明会出现副临界现象 根据坐标变换关系 63 可得固定坐标系下进动方程 由此可见 重力使双刚度转子以两倍自转角速度作正进动 轨迹是以静平衡位置为中心的圆 半径与 k成正比 副临界峰值比临界峰值小 利用副临界测临界转速 安全 1 6 3偏心作用下非轴对称单盘转子的涡动仅偏心作用下运动方程为 64 可见偏心引起的离心惯性力在动坐标系中如同一个静力 只能产生相对静挠度 e e 且有 代入运动方程得 解得动坐标系中的动挠度re和相位角 e为 65 可见 re随动坐标系一起以自转角速度 旋转 在固定坐标系中 圆盘作同步正涡动 盘心轨迹是以re为半径的圆 讨论 1 响应与内阻尼ci无关 2 对无阻尼 c 0 根据动挠度极值定义临界转速 有 a 支承不对称 两临界转速之间 转子作稳态反进动涡动 b 轴不对称 两临界转速之间 转子可能出现不稳定 66 第七节弹性轴有初始弯曲时的转子涡动 设 一Jeffcott转子 不计重力 无质量偏心 轴有初始弯曲圆盘处初始弯曲为rs 转子以角速度 旋转 进一步弯曲rd 动挠度为r 见图1 33s 初始盘心位置c 瞬时盘心位置定坐标系 oxy动坐标系 o 建立动坐标系运动微分方程1 盘心绝对加速度为 2 弹性轴恢复力 67 3 轮盘粘性外阻尼力 4 根据质心运动定律得 化为标准形式微分方程 代入坐标变换 得定坐标系方程 由于旋转 xs ys随时间变化 可表示为 代入定坐标系运动方程得 与质量偏心运动方程形式相似 但特点不同 68 令 式中 式中 代入运动方程得 由强迫振动可知方程稳态解为 与偏心盘的比较 1 动挠度 偏心盘分子上因子为轴弯曲分子上因子为2 动挠度极值频率 轴弯曲为 偏心盘为 无阻尼时两者相等 3 同时存在轴初弯曲rs和盘偏心e 并假设相位差位 由线性叠加原理得 69 第八节转子在越过临界转速时的行为 临界转速附近挠度最大 主要讨论越过临界转速时的行为 假设 转子等加