积分形式的基本方程-1流体力学.pptVIP

B4 1流体系统的随体导数 控制体 CV 实线 系统 t 虚线 控制面 B4积分形式的基本方程 B4 1流体系统的随体导数 4 1 系统广延量 控制体广延量 系统导数 B4 1流体系统的随体导数 4 2 设 为分布函数 对 2 3 v n 0 流进 d v n dAdt 对 4 5 v n 0 流出 d v n dAdt B4 1流体系统的随体导数 4 3 输运公式 控制体广延量随时间变化率 称为当地变化率 控制体形式的系统导数 通过控制面净流出的广延量流量 称为迁移变化率 当流场定常时 0 当流场均匀时 0 输运公式计算取决于控制体 面 的选择 B4 1流体系统的随体导数 4 4 上式表明 通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率 输运公式可用于任何分布函数 如密度分布 动量分布 能量分布等 令 由系统的质量不变可得连续性方程 对固定的CV 积分形式的连续性方程可化为 B4 2积分形式的连续性方程 3 1 1 不可压缩流体 对流管 见图 设Q为流量大小 称为一维不可压缩流动连续方程 控制面上有多个出入口时 B4 2 1固体的控制体 3 2 因 常数 由连续性方程 2 可压缩流体定常流动 称为一维可压缩定常流动连续性方程 控制面上有多个出入口时 对流管 设为质流量大小 B4 2 1固体的控制体 3 3 例B4 2 1 主动脉弓流动 多个一维出入口连续性方程 2 1 已知 所有管截面均为圆形 d1 2 5cm d2 1 1cm d3 0 7cm d4 0 8cm d5 2 0cm 平均流量分别为Q1 6L min Q3 0 07Q1 Q4 0 04Q1 Q5 0 78Q1 求 Q2及各管的平均速度 解 取图中虚线所示控制体 有多个出入口 血液按不可压缩流体处理 可得 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q2 Q1 Q3 Q4 Q5 Q1 0 07 0 04 0 78 Q 0 11Q1 0 66L min 各管的平均速度为 例B4 2 1 主动脉弓流动 多个一维出入口连续性方程 2 2 例B4 2 2 圆管入口段流动 速度廓线变化 2 1 已知 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管 圆截面上的速度廓线不断发展至幂函数形式分布 湍流 并不再变化 后者称为充分发展流动 求 充分发展流动的速度廓线表达式 解 设充分发展流动的速度廓线表达式为幂函数形式 式中um为管轴上的最大速度 在定常流动中为常数 通常取n 1 7 1 10 由连续性方程 b 式左端 R2U b 式右端 b a 例B4 2 2 圆管入口段流动 速度廓线变化 2 2 由积分公式可得 取n 1 7时 或 由 b 式可得 U 0 8167um 例B4 2 3 变水位孔口流动 可变形控制体连续性方程 3 1 求 从孔口打开至水流尽所需时间T 解 可变形控制体CV如图中虚线所示 控制体上侧面随液面一起下降 其余各侧面与箱壁重合 已知 圆柱形贮水箱 直径为d 1m 底部有一孔口 直径为d1 0 1m 设在孔口未打开前水深为h0 1m 打开后孔口出流速度为 h t 为任一时刻的水深 连续性方程式也适用于可变形控制体 只要将v改为相对速度vr a 例B4 2 3 变水位孔口流动 可变形控制体连续性方程 3 2 将 b c 式代入 a 式可得 为常数 可消去 上式整理后可得 控制体内质量的减少是由于从控制面底部孔口有水流出 设孔口无缩颈效应 面积为A1 速度V1 随液面下降 控制体的质量广延量随时间变化 设水箱截面积为A 在任一时刻水深为h t b c 例B4 2 3 变水位孔口流动 可变形控制体连续性方程 3 3 本例中h1 0 t1 T 设水深从h0降低为h1所需时间为t1 B4 2 2运动的控制体 当控制体随物体一起运动时 连续性方程形式不变 只要将流体速度改成在控制体内的相对速度vr 当流体在运动的一维流管中作相对定常流动时 上式中 Vr分别为出入口截面上的平均密度和平均相对速度 B4 2 2运动的控制体 例B4 2 4 洒水器 运动控制体连续性方程 2 1 求 1 管内水流相对速度Vr 已知 洒水器两臂长均为R 150mm 喷水面积均为A 40mm2 喷口偏转角 30 水从中心转轴底部流入 Q 1200ml s 设喷管角速度 500转 分 即 2 管口水流绝对速度V 例B4 2 4 洒水器 运动控制体连续性方程 2 2 喷口的牵连速度为 由喷口速度矢量合成 绝对速度 管内相对速度为 水为不可压缩流体 1 2 且A1 A2 A 由两臂对称性Vr1 Vr2 Vr 上式可化为 B4 3伯努利方程及其应用 伯努利方程的提出 伯努利方程的意义 条件1 无粘性重力流体 沿流线取圆柱形体积元控制体dsdA 伯努利D Bernolli1700 1782瑞士 B4 3伯努利方程及其应用 4 1 B4 3 1沿流线的伯努利方程 4 2 控制体内流体元在流线方向运动方程 沿流线 B4 3 1沿流线的伯努利方程 4 3 常用形式 常数 沿流线 条件2 不可压缩定常流动 单位质量流体 B4 3 1沿流线的伯努利方程 4 4 沿流线 伯努利方程的限制条件 常数 无粘性流体 不可压缩流体 定常流 沿流束 例B4 3 1 皮托测速管 2 1 已知 设皮托管正前方的流速保持为v 静压强为p 流体密度为 U形管中液体密度 m 求 用液位差 h表示流速v a AOB线是一条流线 常称为零流线 沿流线AO段列伯努利方程 b 端点O v0 0 称为驻点 或滞止点 p0称为驻点压强 由于zA z0 可得 例B4 3 1 皮托测速管 2 2 称为动压强 p0称为总压强 AB的位置差可忽略 c 因vB v 由上式得pB p 在U形管内列压强关系式可得 代入 c 式 并乘上修正系数k k称为皮托管系数 由 e 式可得 d e 例B4 3 1A 小孔出流 托里拆利公式及缩颈效应 3 1 已知 图示一敞口贮水箱 小孔与液面的垂直距离为h 淹深 设水位保持不变 求 1 出流速度v 2 出流流量Q 从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2 并列伯努利方程 a 例B4 3 1A 小孔出流 托里拆里公式及缩颈效应 3 2 液面的速度可近似取为零v1 0 液面和孔口外均为大气压强p1 p2 0 表压 由 a 式可得 b 2 设小孔面积为A 流动发生缩颈效应 设缩颈处的截面积为Ae 缩颈系数 c 将 b 式作为小孔出流平均速度 流量为 d 例B4 3 1A 小孔出流 托里拆里公式及缩颈效应 3 3 收缩系数 与孔口边缘状况有关 实际孔口出流应乘上一修正系数k 1 e 上式中 k 称为流量修正系数 由实验测定 内伸管 0 5 流线型圆弧边 1 0 锐角边 0 61 例B4 3 1B 三角堰流量计 孔口速度不均匀 2 1 求 三角堰流量Q的表达式 面元上的微元流量为 已知 设三角堰孔口角为 定常流动时上游水面距角尖的淹深保持为h 由托里拆利公式 任一狭缝面元的平均速度为 b 2 h z tg 2 考虑粘性影响和孔口流线收缩 实际流量为 上式中f 略小于理论公式 a 中的系数 由实验测定 例B4 3 1B 三角堰流量计 孔口速度不均匀 2 2 a 移项可得 B4 3 2沿总流的伯努利方程 沿流线法线方向的速度压强关系 条件 无粘性不可压重力流体定常流 控制体内流体在法线方向运动方程为 R为曲率半径 沿流线法线方向取圆柱形控制体元 B4 3 2沿总流的伯努利方程 3 1 结论 缓变流中压强分布符合静力学规律 沿n方向积分可得 a 当流线为直线时 由 b 式 常数 B4 3 2沿总流的伯努利方程 3 2 附加条件 缓变流 参数均取平均值 设缓变流总流截面上平均速度为V Q 常数 由上式可得 为动能修正因子 方程常用形式为 将伯努利方程沿总流按质量流量积分 沿总流的伯努利方程 常数 沿总流 B4 3 2沿总流的伯努利方程 3 3 例B4 3 2 文丘利流量计 沿总流的伯努利方程 3 1 已知 文丘利管如图所示 求 管内流量Q 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件 截面为A1 A2 平均速度为V1 V2 流体密度为 取 解 由沿总流的伯努利方程 移项可得 b a 例B4 3 2 文丘利流量计 沿总流的伯努利方程 3 2 由于A1 A2截面上为缓变流 截面上的压强分布规律与U形管内静止流体一样 设U形管内液体的密度为 m 液位差为 h 由压强公式可得 将上两式代入 b 式 并利用等压面关系式p3 p5 及 可得 c 例B4 3 2 文丘利流量计 沿总流的伯努利方程 3 3 将 d 式代入 c 式 整理后可得大管的平均速度为 上式中 k称为流速系数 文丘利管的流量公式为 沿总流的水头形式 沿流线的水头形式 B4 3 3伯努利方程的水力学意义 速度水头 压强水头 B4 3 3伯努利方程的水力学意义 例B4 3 3 重力式变截面管流动 水头线 沿总流的水头形式 常数 沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程 B4 3 4不定常流伯努利方程 沿流线从位置1积分到位置2 沿流线 B4 3 4不定常伯努利方程