空间角曲线的切线与法向量.ppt

一 空间曲线的切线与法平面 二 曲面的切平面和法线 第六节多元函数微分学的几何应用 一 空间曲线的切线与法平面 过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 平面 设空间曲线 的参数方程为x t y t z t 这里假定 t t t 都在 上可导 设t t0和t t0 t分别对应于曲线上的点M0 x0 y0 z0 和M x0 x y0 y z0 z 当M M0 即 t 0时 作曲线的割线MM0 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 的参数方程为x t y t z t 这里假定 t t t 都在 上可导 过曲线 上t t0所对应的点M0切线方程为 向量T j t0 y t0 w t0 称为曲线 在点M0的切向量 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M0处的法平面 其法平面方程为j t0 x x0 y t0 y y0 w t0 z z0 0 一 空间曲线的切线与法平面 例1 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程 切线方程 法平面方程 即 即 解 由于 对应的切向量为 在 故 讨论 1 若曲线的方程为y j x z y x 则切向量T 提示 1 曲线的参数方程可视为 x x y j x z y x 切向量为T 1 j x y x 曲线x t y t z t 在t t0所对应的点M0的切向量为T j t0 y t0 w t0 2 若曲线的方程为F x y z 0 G x y z 0 则切向量T 2 两方程可确定两个隐函数 y j x z y x 切向量为T 1 j x y x 而j x y x 要通过解方程组得到 例2 求曲线 在点 M 1 2 1 处的切线方程与法平面方程 解 方程组两边对x求导 得 曲线在点M 1 2 1 处有 切向量 解得 切线方程 即 法平面方程 即 点M 1 2 1 处的切向量 二 曲面的切平面与法线 设有光滑曲面 通过其上定点 对应点M 切线方程为 不全为0 则 在 且 点M的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明 此平面称为 在该点的切平面 上过点M的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上 证 在 上 得 令 由于曲线 的任意性 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 从而切平面存在 曲面 在点M的法向量 法线方程 切平面方程 曲面 时 则在点 故当函数 法线方程 令 特别 当光滑曲面 的方程为显式 在点 有连续偏导数时 切平面方程 法向量 用 将 法向量的方向余弦 表示法向量的方向角 并假定法向量方向 分别记为 则 向上 例3 求椭球面 在点 1 2 3 处的切 平面及法线方程 解 所以球面在点 1 2 3 处有 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 解 切平面方程为 法线方程为 例4求旋转抛物面 在点 2 1 4 处的切平面及法线方程 例5 确定正数 使曲面 在点 解 二曲面在M点的法向量分别为 二曲面在点M相切 故 又点M在球面上 于是有 相切 与球面 因此有 例6 求曲线 在点 1 1 1 的切线 解