（全国通用）2020版高考数学专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质讲义.docx

第1讲三角函数的图象与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019三角函数的诱导公式及三角函数的性质T15三角函数的图象与性质，函数的极值点T8三角函数的零点T52018三角恒等变换及三角函数的周期与最值T8三角函数单调性的应用T10正切函数的周期T62017三角函数的周期T3三角函数的最值T6三角函数的最值T13(1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.(2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第311或1415题位置上.三角函数的定义、诱导公式及基本关系例1(1)(2019安徽省考试试题)角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sin，则tan()A.B.C.D.(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx.当0x时，f(x)0，则f()A.B.C.0D.解析(1)因为角的终边经过点P(4，y)，sin0，所以角为第四象限角，所以cos，所以tan，故选C.(2)由已知，得ffsinfsinsinfsinsinsinfsinsinsin0.答案(1)C(2)A解题方略1.同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2cos21求解知弦求切常通过平方关系、对称式sincos，sincos，sincos建立联系，注意tan的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sintancos的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sincos)212sincos的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)sin22.利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐.特别注意函数名称和符号的确定.注意“奇变偶不变，符号看象限”.跟踪训练1.(2019福建适应性练习)已知(0，)，sin，则tan()()A.B.C.2D.2解析：选D由sin，得cos，又由(0，)，得sin，tan2，所以tan()tan2.故选D.2.已知直线2xy10的倾斜角为，则sin22cos2()A.B.C.D.解析：选A法一：(直接法)由已知得tan2，即sin2cos.又sin2cos21，所以sin2，cos2.而sin22cos22sincos2cos222coscos2cos22cos2.故选A.法二：(转化法)由已知得tan2，所以sin22cos2.三角函数的图象与解析式题型一由“图”定“式”例2(1)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f，则函数f(x)在上的最小值为()A.B.C.D.解析(1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，所以函数的最大值为2，即A2.由图象可得，x，x为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T24，故4，解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ).又0，所以.所以f(x)2sin，故选B.(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T4，解得2.因为点在函数f(x)的图象上，所以Asin0，解得k，kZ，由00，0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图.(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.(3)点坐标定：一般运用代入法求解值，注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.题型二三角函数的图象变换例3(1)(2019福建省质量检查)将函数ysin的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A.B.C.D.(2)(2019天津高考)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|0，左移；0，上移；k0)两个相邻的极值点，则()A.2B.C.1D.(2)(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()A.f(x)|cos2x|B.f(x)|sin2x|C.f(x)cos|x|D.f(x)sin|x|(3)(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在0，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C.D.解析(1)由题意及函数ysinx的图象与性质可知，T，T，2.故选A.(2)作出函数f(x)|cos2x|的图象，如图.由图象可知f(x)|cos2x|的周期为，在区间上单调递增.同理可得f(x)|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)cos|x|的周期为2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除B、C、D.故选A.(3)法一：f(x)cosxsinxsin，当x，即x时，ysin单调递增，f(x)sin单调递减，是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得0，a，a，即amax.故选C.法二：f(x)sinxcosxsin.于是，由题设得f(x)0，即sin0在区间0，a上恒成立.当x0，a时，x，所以a，即a，故所求a的最大值是.故选C.答案(1)A(2)A(3)C解题方略1.求三角函数单调区间的方法(1)代换法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，为常数，A0，0)的单调区间时，令xz，得yAsinz(或yAcosz)，然后由复合函数的单调性求得.(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.2.判断对称中心与对称轴的方法利用函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断.3.求三角函数周期的常用结论(1)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.跟踪训练1.(2019沈阳市质量监测一)设函数f(x)sin，则下列结论正确的是()A.函数yf(x)的递减区间为B.函数yf(x)的图象可由ysin2x的图象向左平移个单位长度得到C.函数yf(x)的图象的一条对称轴的方程为xD.若x，则yf(x)的取值范围是解析：选D对于A，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，A错；对于B，ysin2x的图象向左平移个单位长度后是ysinsin的图象，B错；对于C，令2xk，kZ，得x，kZ，当k1时，x，当k0时，x，C错；对于D，若x，则，故f(x)，D正确.2.(2019武汉市调研测试)已知函数y2sin(2x)的图象关于直线x对称，则的值为_.解析：法一：因为函数y2sin(2x)的图象关于直线x对称，所以2sin2，所以k(kZ)，即k(kZ).又，所以.法二：因为函数f(x)2sin(2x)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，即2sin2sin，sincossin，则tan.因为，所以.答案：三角函数图象与性质的综合应用例5(2019浙江高考)设函数f(x)sinx，xR.(1)已知0，2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y的值域.解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sinxcoscosxsinsinxcoscosxsin，故2sinxcos0，所以cos0.又0，2)，因此或.(2)ysin2sin211cos.因此，所求函数的值域是.解题方略解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)k(一角一函数)的形式；(2)把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)k的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.跟踪训练(2019合肥市第一次质检)将函数f(x)sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)f(x)g(x).(1)求函数h(x)的单调递增区间；(2)若g，求h()的值.解：(1)由已知可得g(x)sin，则h(x)sin2xsinsin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.函数h(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由g得sinsin，sin，即h().直观想象数形结合法在三角函数图象问题中的应用典例函数f(x)sin(x)的图象如图所示，为了得到g(x)cos的图象，则只需将f(x)的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析根据函数f(x)sin(x)的部分图象知，T，即，解得2.根据“五点作图法”并结合|0，|)在区间2，4上单调，且f(2)1，f(4)1，则_，f(x)在区间上的值域是_.解析：由题意知f(x)的最小正周期T4，f(x)sin.又f(2)sin()1，2k，kZ.又|0)，函数f(x)mn，直线xx1，xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1)因为向量m(2sinx，sinx)，n(cosx，2sinx)(0)，所以函数f(x)mn2sinxcosxsinx(2sinx)sin2x2sin2xsin2xcos2x2sin.因为直线xx1，xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为2，即，得1.(2)由(1)知，f(x)2sin，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ).3.已知函数f(x)sin2xcos4xsin4x1(01)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心.(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；(2)先列表，再作出函数f(x)在区间，上的图象.解：(1)f(x)sin2x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)1sin2xcos2x12sin1.点是函数f(x)图象的一个对称中心，k，kZ，3k，kZ.01，k0，f(x)2sin1.由xk，kZ，得xk，kZ，令k0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x.(2)由(1)知，f(x)2sin1，当x，时，列表如下：x0xf(x)011310则函数f(x)在区间，上的图象如图所示.4.已知函数f(x)sin(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x时取得最大值1.