09-10-1高等数学总复习.ppt

机动目录上页下页返回结束 试题不涉及内容 3 中值定理中关于 1 极限 定义的证明问题 2 n阶导数的一般表达式 相关变换率 微分的近似计算 存在性的证明 泰勒公式 函数图形的描绘 曲率 方程的近似解 5 无界函数的广义积分 6 极坐标系下定积分的应用 定积分的物理应用 09 10 1高等数学期末考试复习大纲 7 微分方程的物理应用 4 积分表的使用 注 凡是上课没讲的都不考 试卷大体结构 一 单项选择题 每小题3分 共15分 二 填空题 每小题3分 共15分 三 解答题 9 10个小题 共70分 考试注意事项 1 书写规范 卷面整洁 铅笔作答 视为无效 2 写出详细的解题过程 3 少犯原则性错误 机动目录上页下页返回结束 第一章 一 函数的定义域 奇偶性 有界性 例1 函数 的定义域是 函数 在定义域 上是 函数 A 有界函数 B 周期函数 C 奇函数 D 偶函数 下列函数中为奇函数的是 A B 设 求 及其定义域 解 令 则 原式为 则 函数 A 奇函数 B 偶函数 C 非奇非偶函数 D 不确定 A 是 机动目录上页下页返回结束 设 求 由 解 得 因此 二 求极限 1 两个重要极限 机动目录上页下页返回结束 2 等价无穷小代换 3 罗比塔法则 机动目录上页下页返回结束 例2 解 应填 求极限 解 原式 机动目录上页下页返回结束 解 原式 求极限 机动目录上页下页返回结束 解 原式 求极限 解 原式 求极限 三 连续和间断 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 机动目录上页下页返回结束 无界间断点 例3 下列函数在 连续的是 C C 且 设 解 即 时f x 在 处连续 机动目录上页下页返回结束 存在 所以 又 设 则 是 的 A 连续点 B 无穷间断点 C 可去间断点 D 跳跃间断点 由于 故应选 C 所以 是函数 的可去间断点 机动目录上页下页返回结束 C 是函数 的间断点 其类型为 A 无穷间断点 B 跳跃间断点 C 可去间断点 D 振荡间断点 所以 是函数 的可去间断点 由于 故应选 C 机动目录上页下页返回结束 C 四 闭区间上连续函数的性质 零点定理 设 且 则至少有一点 使得 例4 设 在 上连续 且 证明 在 内至少存在一点 使 证 设 又 所以由 零点定理 得知 则至少有一点 使得 即 机动目录上页下页返回结束 证明方程 在区间 内至少有一个实根 设 证 则 在区间 内连续 由于 根据零点定理知 在区间 内至少有一个零点 即方程 在区间 内至少有一个根 机动目录上页下页返回结束 第二章 一 导数的定义与几何意义 曲线 在 处的切线方程和法线方程 切线方程 法线方程 例5 设 则 机动目录上页下页返回结束 解 应填 设 求 解 机动目录上页下页返回结束 若 为连续函数 A B C D 的值为 且已知 则 B 应选 B 解 机动目录上页下页返回结束 试求过点 且与曲线 处的切线相垂直的直线方程 解 曲线在点 处切线的斜率为 上的点 所求直线的斜率为 所求直线的方程为 机动目录上页下页返回结束 二 复合函数求导 隐函数求导 参数方程确定的函数的一阶 二阶导数 设函数 由方程 确定 求 解 由于 机动目录上页下页返回结束 设 则 解 机动目录上页下页返回结束 已知 解 求 确定了函数 机动目录上页下页返回结束 设 解 求 因为 所以 机动目录上页下页返回结束 设 为可导函数 求 解 微分 三 微分的计算 例7 机动目录上页下页返回结束 设 解 为可导函数 求 机动目录上页下页返回结束 可导 连续 四 关系 可导 可微 例8 已知 在 处可导 则a b的值为 A B C D 由于 而 所以 机动目录上页下页返回结束 又 已知 在 处可导 则a b的值为 A B C D 应选 B 所以 机动目录上页下页返回结束 由于 而 所以 又 应选 A 所以 机动目录上页下页返回结束 第三章 一 利用单调性证明不等式 证明当 证 时 当 时 要证 即证 设 由于 机动目录上页下页返回结束 所以当 时 即当 证毕 时 有 因此当 时 单调增 又由于 若 证明 设 证 由于 所以 单调增 时 即 时 这表明当 时 又由于 机动目录上页下页返回结束 二 利用单调性证明方程根的唯一性 例10 若 则方程 A 无实根 B 有重实根 C 有无穷多个根 D 有且仅有一个根 设 在 由于判别式 则 上连续 机动目录上页下页返回结束 所以 又由于 因此曲线 故方程有且仅有 一个根 应选 D 仅与x轴相交一次 因此 在 上单调增 机动目录上页下页返回结束 设 由于 因此曲线 一个实根 应选 B 仅与x轴相交一次 故方程有且仅有 函数 在 区间内单调增 在区间 A 无实根 C 有两个实根 方程 内 B B 有唯一实根 D 有三个实根 又由于 机动目录上页下页返回结束 三 函数的单调区间和极值 例11 的单调减少区间是 解 令 得 机动目录上页下页返回结束 求函数 的单调区间与极值 解 极小值 为极小值 机动目录上页下页返回结束 求由方程 确定的函数 的单调区间 解 方程两边对x求导数得 令 得 机动目录上页下页返回结束 在区间 内单调增 内单调减 函数在区间 和 设函数 由方程 所确定 试求 的驻点 并判别它是否为极值点 方程两边对x求导数 解 令 得 代入原方程得 机动目录上页下页返回结束 即有 所以 是唯一的驻点 又由于 而 所以 是极小值点 机动目录上页下页返回结束 设函数 内连续 其导函数的图形 有 如下图所示 则 A 一个极小值点和两个极大值点 B C D 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点 三个极小值点和一个极大值点 C 三 曲线的凹凸性和拐点 例12 曲线 在 解 令 得 机动目录上页下页返回结束 凸弧 凹弧 应选 B 拐点 在区间 上的凹凸性为 曲线 凹弧 解 应填 凹弧 机动目录上页下页返回结束 第四章 一 不定积分的换元积分法和分部积分法 例13 求 解 u v 机动目录上页下页返回结束 应填 解 原式 已知 的一个原函数为 求 解 机动目录上页下页返回结束 二 有理函数的积分 例14 解 设 则有 原式 比较系数可得 机动目录上页下页返回结束 第五章 一 变限积分函数的求导 例15 设函数 则 C 二 定积分的计算及对称区间上奇偶函数定积分计算 例16 求 解 机动目录上页下页返回结束 计算 解 原式 令 机动目录上页下页返回结束 定积分 A 设函数 的值等于 B C D 由于被积函数 为奇函数 积分区间 关于原点 对称 A 根据定积分的性质 此积分值为零 故应选 A 计算定积分 解 原式 机动目录上页下页返回结束 三 用定积分换元法证明积分等式 例16 设函数 在 上连续 试证明 并求 证 令 移项后可得 机动目录上页下页返回结束 四 无穷区间的反常积分 例17 解 机动目录上页下页返回结束 求 解 1 机动目录上页下页返回结束 第六章 一 直角坐标系中平面图形的面积的求法 例18 求 上点 处切线与抛物线 围成的平面的平面图形的面积 解 曲线 在点 处的切线方程为 为确定积分限 解方程组 交点为 机动目录上页下页返回结束 设直线 与抛物线 的面积为 且它们与直线 所围成的面积为 1 试确定a的值 使得 并求出最小值 2 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周 所得旋转体的体积 所围成 达到最小 解 1 依题意画如下 为确定积分限 解方程组 解得 机动目录上页下页返回结束 令 解得 唯一驻点 面积的最小值为 机动目录上页下页返回结束 2 机动目录上页下页返回结束 求由 所围成的平面图形 绕x轴旋转所成的旋转体的体积 解 机动目录上页下页返回结束 第七章 一 微分方程的解法 例19 求一曲线 它在点 处的