定积分与微积分基本定理.doc

数学复习新思路（高考一轮学案）第62讲 定积分与微积分基本定理(许吟裕)课标要求 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。知识要点1 定积分的概念与计算（1）定义表达式：（2）定积分几何意义：表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数（3）函数可积的两个充分条件：设上连续，则在a,b上可积。设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。（4）定积分的性质（5）微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系。（6）定积分的计算定义法：分割近似代替求和取极限利用定积分几何意义微积分基本公式换元法与分部积分法2定积分的基本应用：（1）定积分在几何上的应用计算平面图形的面积（2）定积分在物理上的应用变速直线运动的路程，变力作功。回归基础1( )A. 2； B. 0 ； C. 1； D.-12（ ）A ；B ； C ； D 3利用定积分定义和牛顿-莱布尼兹公式两种方法计算定积分 4 计算5求曲线 , 及 所围成图形的面积。例题分析例1设连续，且，求.解：记，则两端积分得：， 例2 利用定积分的几何意义计算定积分 解： 如图：积分 是长方形的面积 =3 如图：积分 是两个三角形的面积和 =1 如图是 圆面积：积分 是图中阴影部分的面积 = 例3已知弹簧的弹性恢复力与弹簧的伸长量成正比，某弹簧的伸长量为 ，弹性恢复力为 ，如果把弹簧由原长拉伸 ，计算需做功多少？例4. 一质点以速度 （m/s）沿直线运动，求在时间间隔1，4上的位移。 解： 即质点没直线移动了 （m）.例5 设函数在上连续且单调增加，证明在内存在点，使曲线与两直线，所围平面图形面积是曲线与两直线，所围图形面积的三倍。证：设是上任一点，与分别表示图中两块曲边三角形面积，由于是 的连续函数，只要证明该函数在内有零点即可。构造函数 由于连续，因此2在上连续，又 由连续函数介值定理知，使 故 即 学科综合例6设在连续且递减，证明：当时，.证：，又证，作 ，则只需证：， 又，故当，探索发现例7设平面图形A由与所确定，求图形A绕直线旋转一周所得的旋转体体积解：因与直线的交点为和，选为积分变量，相应平面图形绕旋转一周所得的旋转体的体积微元为其中，故得：积分得： 第一个积分中，令，得例8 设函数在闭区间，在开区间内大于零，并满足（ 常数），又曲线与，所围图形的面积值为，求函数，问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小？解： 由题设知，当时，即，由在连续性得， 又由已知条件得 从而，因此由于旋转体的体积为 令，所以当时，该旋转体体积为最小。 归纳小结1定积分的概念，要抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。2牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系，微积分基本公式。3换元积分法和分部积分法构成本讲的基本方法，在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。定积分的分部积分法。熟练掌握这些基本方法。4定积分应用主要表现在：（1）求平面图形的面积（2）变速直线运动的路程（3）变力作功。应着重讲透处理问题的思想方法微元法，对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。5用定积分求各类物理量的基本思路是：（1）建立坐标系，将要求的物理量转化为求某区间上的定积分。（2）用元素法：“局部近似得元素，元素积分得总量”，列出定积分的表达式。6定积分的思想即“分割近似代替求和取极限”，它为我们研究某些问题提供了一种思维模式自我评价A组夯实基础1下列积分结果正确的有 （ ） . = 2/3 . . =1 =3e-3A B C D 2若是上的连续偶函数，则 A B 0 C D 3设连续函数f(x)0,则当ab时，定积分的符号（ ）A一定是正的 B一定是负的C当0ab时为正，当ab0时为负 D以上结论都不正确4若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积( )A BC D5如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为（ ）A0.18J B. 0.26J C.0.12J D.0.28J6 =. .7 .8= . 9.设力 的方向与物体的运动方向一致，力的大小是物体所在位置的坐标 的连续函数 ，则当物体沿直线从点 运动到 时，变力 所做的功 _.10计算下列积分：(1) (2) (3) (4)11计算下列积分：（1） （2）（3）（4） .（5）B组 培养能力12 求抛物线 及其在点 和点 处的切线所围成的图形面积.13. 求通过点 和 的抛物线，要求它具有以下的性质：(1) 它的对称轴平行于 轴，且张口向下.(2) 它与 轴所围的面积最小. 14设直径为 ，高为 的圆柱体内充满压强为 的蒸汽，若要求温度保持不变，蒸汽体积缩小一半，问做功多少？15证明：把质量为 的物体从地球表面升高到 处所做的功 ，其中 是引力常数， 是地球质量， 是地球半径。C组 开发潜能16用铁锤把一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比。在第一次打击时，将铁钉击入木板 ，若铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问捶击第二次时，能把铁钉击入多少 ？17求由椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的旋转体（称为旋转椭圆球体的体积）18定积分中值定理：如果f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点，使下式成立：=f()(b-a)。设在上有一阶连续导数，利用中值定理证明：说明：本讲