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【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】利用傅里叶级数进行数列求和的方法 （20_ _届）本科毕业论文利用傅里叶级数进行数列求和的方法摘要：数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和一种特殊的三角级数法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出The Method of Sequence Summation by Fourier SeriesAbstract: Sequence is very important in mathematics. There are many relations between objects expressed by sequences. Summation is one of the very important content. There exist many methods to get the summation of sequence. For example, formula method, dislocation phase subtraction, adding method in reverse chronological order, grouping law, crack study method, mathematical induction, general term turning, add item summation, etc. But we find that not all sequence summation solved by these methods. We need to seek new ways. At this time, we may introduce the fourier series to get sum of sepuences. Fourier series, a special kind of the trigonometric series, is raised by J.-B.-J. Fourier, a French mathematician, while studying in a research about boundary value of partial differential equation. Using fourier series, we can discuss about a class of sequence summation in this direction. In this article, we introduce the relative theory of fourier series firstly. Secondly, we conclude the method of sequence summation by fourier series with many examples.Key words: Fourier series; sequence; summation目 录1 引言12 傅里叶级数的相关概念介绍22.1 傅里叶级数22.1.1 以为周期的函数的傅里叶级数22.1.2 以为周期的函数的傅里叶级数42.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数52.3 函数的傅里叶级数的展开式63 傅里叶级数的收敛定理及其判别法93.1 函数项级数的收敛定理及其判别法93.2 傅里叶级数收敛定理103.3 傅里叶级数收敛性的判定定理113.3.1 Dini判别法113.3.2 Jordan判别法123.4 傅里叶级数的求和理论124 傅里叶级数在数列求和中的应用144.1 利用傅里叶级数进行数列求和144.2 应用举例154.2.1 类无穷级数和的傅里叶求法154.2.2 其他例子175 总结21致谢22参考文献231 引言数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系都可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和一种特殊的三角级数法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出Fourier series，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数 （1）描述。由（1）所表达的周期运动也称为简谐振动，其中为振幅，为初相角，为角频率，于是简谐震动的周期是。较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加 （2）由于简谐振动的周期为，所以函数（2）的周期为。对无穷多个简谐振动进行叠加就得到函数项级数 （3）若级数（3）收敛，则其所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（3），我们只讨论（如果，可用代换）的情形。由于 ，所以 （3）记，则级数（3）可写成 （4）它是由三角函数列（亦称三角函数系） （5）所产生的一般形式的三角级数。 我们易得，若三角级数（4）收敛，那么它的和一定是一个以为周期的函数。定理1 若级数收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。而三角函数（5）中所有函数具有共同周期，且任何两个不相同函数的乘积在上的积分都等于零，即 （6） （7）而（5）中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零，即 （8）我们通常把两个函数和在上可积，且的函数和称为在上是正交的。由此我们可以说三角函数系（5）在上是具有正交性的，或者说（5）是正交函数系。我们应用三角函数系（5）的正交性，讨论三角级数（4）的和函数与级数（4）的系数，之间的关系。定理2 若在整个数轴上 （9）且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： （10a） （10b）一般来说，若是以为周期且在上可积的函数，则可按公式（10）计算出和，它们称为函数（关于三角函数系）的傅里叶系数，以的傅里叶系数为系数的三角级数（9）成为（关于三角函数系）的傅里叶级数，记作 （11）其中记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。由定理2知道：若（9）式右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数，则此三角级数就是的傅里叶级数，即此时（11）式中的记号“”可换为等号。然而，若从以为周期且在上可积的函数出发，按公式（10）即可求出其傅里叶系数并得到傅里叶级数（11）。12.1.2 以为周期的函数的傅里叶级数定义1 设是以为周期的函数，通过变量置换或可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是： ， （12）其中 （13）因为，所以。于是由（12）和（13）式分别得 （14）与 （15）这里（15）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（14）式是的傅里叶级数。12.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数定义2 若是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数（15）是 （16）于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 ， （17）其中如（16）式所示。（17）式右边的级数称为余弦级数。同理，若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得 （18）所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 ， （19）其中如（18）式所示。（19）式右边的级数称为正弦级数。12.3 函数的傅里叶级数的展开式首先，我们给出一个引理：引理 设函数以为周期，在上分段光滑，那么，也以为周期，且对任意实数有 .我们设在相应区间上满足Dirichlet充分条件。定理3 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则有其中， 事实上，作 使在上分段光滑，将在上的作以为周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里叶级数展开式为 .若取，则有 .定理4 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则公式仍成立。事实上，由，则将作以为周期的周期延拓得，在区间上，除一端点外，同定理3，有由引理可得：现在给出在任意区间上的傅里叶级数展开式的两种求法：方法一 取，不妨设，由上述讨论，有定理5 若在上满足Dirichlet充分条件，不妨设，则其中 方法二 取，则，将作以为周期的周期延拓，得，则其中 但一般找出在上的表达式是不容易的，由引理可得定理6 若在任意有限区间上满足Dirichlet充分条件，则有其中 以上我们给出的第二种方法是可以适用于任何类型区间的一般展开公式。23 傅里叶级数的收敛定理及其判别法3.1 函数项级数的收敛定理及其判别法我们知道，傅里叶级数是函数项级数中的一类，所以在讨论傅里叶级数的收敛定理及其判别法之前，我们先引入函数项级数的相关定理。定理7 （一致收敛的柯西准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数，使得当时，对一切和一切正整数，都有或 .此定理中当时，得到函数项级数一致收敛的必要条件。推论 函数项级数在数集上一致收敛的必要条件为：函数列在上一致收敛于零。设函数项级数在上的和函数为，称为函数项级数的余项。定理8 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是： .下面我们引入函数项级数的相关判别法。定理9 魏尔斯特拉斯判别法 设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有 ，则函数项级数在上一致收敛。定理10 （阿贝尔判别法）设（）在区间上一致收敛；（）对于每一个,是单调的；（）在上一致有界，即对一切和正整数,存在正数，使得 .则形如的级数在上一致收敛。定理11 （狄利克雷判别法）设（）的部分和函数列，在上一致有界；（）对于每一个，是单调的；（）在上，则形如的级数在上一致收敛。13.2 傅里叶级数收敛定理现在，我们给出傅里叶级数的收敛定理。定理12 若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，的傅里叶级数收敛于在点的左、右极限的算数平均值，即，其中，为的傅里叶系数。同理，若在上按段光滑，则同样可由以上收敛定理得 . （20）这里我们对以上定理中的某些概念作以下解释：若的导函数在上连续，则称在上光滑；若定义在上除了至多有有限个第一类间断点的函数的导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称在上按段光滑。由上述定义，若函数在上按段光滑，则有如下性质：在上可积；在上每一点都存在，且有：在补充定义在上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为），在上可积。推论 若是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则的傅里叶级数在上收敛于。13.3 傅里叶级数收敛性的判定定理下面，我们再来看傅里叶级数收敛性的判定定理，重点介绍两个判别法，即Dini判别法和Jordan判别法。首先我们记的傅里叶级数的前项部分和为 。3.3.1 Dini判别法若以为周期，在绝对可积，且存在，使得存在，则的傅里叶级数在收敛到，即。Dini判别法的一个推论是Lipschitz判别，即：若以为周期，在绝对可积，且在满足阶的Lipschitz条件，即存在与常数，使得成立，则的傅里叶级数在收敛到。 推论1 若以为周期，在绝对可积，且在有有限导数，则的傅里叶级数在收敛到。推论2 若以为周期，在绝对可积，且在上处处可微，则的傅里叶级数收敛到。3.3.2 Jordan判别法设以为周期，在绝对可积，且为上的有界变差函数，则其傅里叶级数在内每一点处都收敛到 。33.4 傅里叶级数的求和理论在傅里叶级数的求和理论中，有一种是在其线性求和中通过构造求和因子，使得带有该求和因子的积分算子在全轴上一致收敛到每个以为周期的连续函数，并对函数类的逼近均达到最佳收敛阶，其中参数为任意给定的奇自然数。我们记为赋范的以为周期的连续函数空间，设，它的傅里叶级数在区间上，利用三角恒等式可以得到其前项部分和为 .这个积分就是著名的Dirichlet奇异积分算子，而就是阶Dirichlet核函数。要改进其收敛性，一种方法是从Dirichlet核函数出发，构造出新的核函数，使得带有新核的积分算子能在全轴上一致地收敛到，通过Dirichlet积分算子构造出一类组合型的积分算子，该积分算子也在全轴上一致地收敛到每个连续函数，且具有最佳收敛阶。而另一种方法是求和因子法，给出求和因子阵：，则有求和问题：，若求和因子要满足下：对每个，其中为常数, 则在全轴上一致地收敛到每个连续的。构造求和因子：设为任意给定的奇自然数，取 ，其中，且满足下面方程：。于是我们可以得到一个新的奇异积分算子： 。以此进行计算下去。44 傅里叶级数在数列求和中的应用傅里叶级数在数学与工程技术中有着广泛的应用，特别是物理学和电子学，它用来表示周期函数，比如由通信信号波组成的函数。此外，在热传导、弹力学等方面也都需要用到傅里叶级数。而很多工程中的问题最终都可以归纳为一个线性系统对一个正弦函数的输入反映，余弦函数，与正弦函数相差一个相位，因此余弦函数的输入也可以归结为正弦函数的问题。在这种情形中所有的参数都是实数，利用实变量的分析技术也能解决模型的分析问题，然而，数学家们发现，运用复变量能极大地简化计算，并且能深入理解参数的本质。所以也有观点认为傅里叶级数以及傅里叶变换与复变函数是紧密联系的。所以我们需要将一个函数表示为正弦函数类的方法的同时，需要一个连接实变量和复变量的方法。而要把复杂的运算转化为较为简单的运算，常采用一种变换技巧。例如取对数能将数量的乘法和除法运算变成对数的和与差的运算，对运算的结果取反对数，就得到原来数量的乘积或商。把乘法和除法的运算变成加法和减法的运算，就是将复杂的运算变成简单运算的一个典型例子。而傅立叶变换就是一种常见的积分变换，其建立了将一个函数表示为正弦函数和的公式，实现了实变量和复变量之间的连接，同时还能将对函数的微分运算变换成函数的乘法运算，将一个微分方程问题变成一个代数方程问题求解。5当然，傅里叶级数在这些实际生活中的应用问题不是本文关注的重点，但是从以上的评论中，我们知道傅里叶级数不只在理论上，在实际生产、生活以及工程问题中都有重要的应用。我们今天只重点讨论傅里叶级数的一个理论应用：在数列求和这个问题中的应用。4.1 利用傅里叶级数进行数列求和我们在引言部分提及过，关于数列求和的方法有很多种，比如公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。 证明：取，在上展开成傅里叶级数，计算傅里叶系数得由傅里叶级数的收敛定理，于是有： 令，得例2证明等式。证明：取，在上展开成傅里叶级数，计算傅里叶系数得由傅里叶级数的收敛定理，于是有令，得同理，取，在上展开成傅里叶级数，计算傅里叶系数，可证得 .依次类推，取，在上展开傅里叶级数，计算傅里叶系数，可求得无穷级数的下面，我们求无穷级数的和。例3. 求无穷级数的和。解：取，在上展开成傅里叶级数，计算傅里叶系数得 ，其中， ， ， ，由傅里叶级数的收敛定理，于是有 ， ，令，得从而有 。64.2.2 其他例子例4. 把函数展开成傅里叶级数，并由它推出（1）；（2）；（3）.解：函数是按段光滑的，故它可以展开成傅里叶级数。 由于 所以，当时 当时，上式右端收敛于0；当时，由于，所以 证得（1）式。 又 ，所以 即 证得（2）式。 当时，由于，所以 故有 证得（3）式。 例5. 设为上可积函数，若的傅里叶级数在上一致收敛于，则成立帕塞瓦尔（Parseral）等式：这里，为的傅里叶系数。由于帕塞瓦尔等式对于在上满足收敛定理条件的函数也成立。则请应用这个结果证明等式： （提示：应用例4的展开式导出）证明：由例4的结论知 由帕塞瓦尔等式有 故 .例6. 求函数的傅里叶级数展开式，并应用它推出.证明：在区间上由有将，代入，得当时，上式右端收敛于所以.15 总结数学作为一种创造性活动，不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美。18世纪是分析的时代，数学进入到更高层次的研究，傅里叶级数和数列求和均是数学分析中的重要组成部分，因此研究傅里叶级数在数列求和中的应用具有重大的意义。就傅里叶级数而言，已经有了丰富的研究成果。如今，随着计算机计算能力的不断提高，傅里叶级数理论在工程计算和理论研究方面发挥着更重要的作用。比如，数学、物理和力学领域的许多问题都可以归结为偏微分方程的边值问题，分离变量法是解决这个问题的重要方法。而分离变量法的实质是把待求函数分离变量后代入相应的偏微分方程，通常得到包含待定常数的级数解答，再令待求函数满足相应的边界条件，以建立一组“平衡”方程组。但是这个方程组的计算过程通常比较复杂，不能直接求解，只能借助比较系数法。而其常用的方法就是把方程中的每一项在合适的区间内展开成傅里叶级数，通过比较三角函数变量前的系数，建立一组线性代数方程，求解即得。而在此求解过程中，如何有效地把方程中每一项展成傅里叶级数就是能否顺利求解的关键。7由此我们可以更深刻地体会到傅里叶级数的重要性。目前，对于傅里叶级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且在上述提及过的数学本身、自然现象、工程技术以及物理研究等领域广泛应用。在论文准备期，我也阅读了很多资料，并从中有所领悟，对本次论文有很大帮助。比如，函数的傅里叶级数展开式的计算过程中，可以按正弦、余弦组合后依次相加 8，可以利用分布积分公式 9，也可以利用函数的对称中心 10 计算得到，但这些方法都是据具体函数而言的；在傅里叶系数的计算方面，在现行教材所提到的三种推导方法的基础上，从逼近的角度出发，应用多元函数极值的相关知识，可以得到一种新的推导方法以克服前面三种方法出现的不足和缺陷11；在傅里叶级数的收敛性方面，对Dini定理和Jordan定理有更详细和深入的介绍12；此外，还有三角函数部分和在不同度量下的收敛速度 13，同一函数可以展成多种不同形式的傅里叶级数14，傅里叶级数部分和对凸函数的逼近15，及其在控制定理中的应用16，等等。本论文则重点介绍了研究傅里叶级数的历史背景、现状，归纳梳理了傅里叶级数的相关概念、收敛定理、判别法及其求和理论，并结合例子说明傅里叶级数在数列求和中的应用。随着科学技术的发展，傅里叶级数作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻，对其继续研究也会有无限的发展空间。参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）M. 北京: 高等教育出版社, 2001.2 魏全顺. 关于函数的Fourier级数系统展开方法J. 湖南第一师范学报，2007，7 1 :158-160. 高义，高建国. 关于Fourier级数收敛性的判定定理J. 高等数学研究，2010，13 3 :26-27. 何甲兴，王淑云，杨明. Fourier级数的求和理论与方法求和因子法求和J. 数学的实践与认识,2003，33 12 :112-118.，: 复旦大学出版社, 200.6 任孚鲛. 关于类无穷级数和的傅里叶求法J. 雁北师范学院学报, 2004,20 2 :48-49. 刘杰民，刘金堂. 函数的Fourier级数展开J. 沈阳航空工业学院学报，2004，21 5 :87-89.8 何国柱. 关于傅里叶级数展开式的一种写法的讨论J. 乐山师范学院学报，2008，23 12 :27-28. 谭宏武，李莉. 傅里叶级数展开的一个简便算法J. 高等数学研究，2004，7 3 :35-36. 成青松. 一类函数的傅里叶级数展开式的简便计算也谈对称性的使用意识J. 高等数学研究，2006，9 3 :28-29,64. 章联生. 傅里叶系数公式推导的一个注记J. 绵阳师范学院学报，2005，24 5 :10-12. 孟凡友. 关于Fourier级数收敛定理的研究J. 牡丹江师范学院报，2000，1 2 :25-26.1 何倩，项雪艳. 关于一个典型函数Fourier级数部分和的收敛性J. 宝鸡文理学院学报，2007，27 1 :20-21,92. 田长安，王永忠. 函数的两种傅里叶级数展式及同一性证明J. 新乡师范高等专科学校学报，2004，18 5 :5.15 Yu Guohua. Approximationn of Convex Type Function by Partial Sums of Fourier SeriesJ. Appl.Math.J.Chinese Univ.Ser.B, 2004,19 1 :67-76.16 V.Komornik, P.Loreti. Fourier Series in Control TheoryM. New York:Springer-Verlag,2000.文献综述利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和一种特殊的三角级数法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出Fourier series，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数是以为周期的函数，通过变量置换或可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是：， （1）其中 （2）因为，所以。于是由（1）和（2）式分别 （3）与 （4）这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（3）式是的傅里叶系数。傅里叶级数收敛定理：若以为周期的函数在上按段光滑，则在每一点，在傅里叶级数收敛于在点的左、右极限的算数平均值，即，其中，为的傅里叶系数。同理，若在上按段光滑，则同样可由以上收敛定理得 . （5）若是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数（4）是 （6）于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 ， （7）其中如（6）式所示。（7）式右边的级数称为余弦级数。同理，若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得 （8）所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 ， （9）其中如（8）式所示。（9）式右边的级数称为正弦级数。1 本文结合傅里叶级数的背景、傅里叶级数求法及其应用，利用傅里叶级数进行数列求和的方法进行梳理、归纳，并举例进行说明。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景傅里叶级数是一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。Dini判别法和Jordan判别法，并通过列举实例说明着两种方法是相互不包含的10；何倩和项雪艳则重点研究了三角函数部分和在不同度量下的收敛速度，通过级数计算和不等式的收放技巧得到度量下的最佳逼近度以及度量下的逼近速度上下界11。在众多成果中，傅里叶级数求和是很重要的部分：王淑云、何甲兴分别与杨明和宋东哲研究过傅里叶级数求和的方法，前者重点提出过求和因子法求和，即在其线性求和中通过构造求和因子，使得带有该求和因子的积分算子在全轴上一致收敛到每个以为周期的连续函数，并对函数类的逼近均达到最佳收敛阶，其中参数为任意给定的奇自然数12；后者则是通过Dirichlet积分算子构造一个新的积分算子以此进行计算13。任孚鲛曾研究过利用傅里叶级数对类无穷级数进行求和并得出递推公式14，这对本论文将要研究的课题，有重要作用。此外，成果还有很多，例如：俞国华曾研究过傅里叶级数部分和对凸型函数的逼近,并给出了凸型函数的概念及凸分解的方法15；还有，傅里叶级数在控制定理中的应用16，等等。（三）研究内容数学思维的特点之一就是寻找各种关系，并由此去探索扩充某种思想的途径，这些都要建立在归纳、总结的基础上。所以，我们对利用傅里叶级数对数列求和的方法及其应用做进一步的归纳、总结，进一步深入的研究，使其得到更加广泛的应用。在引入傅里叶级数的定义、展开式、收敛定理及奇偶函数的傅里叶级数表示法后，我们总结利用傅里叶级数求和的方法的相关知识如下：我们先来看一下不同类型的区间与之相应的傅里叶展开式。我们设在相应区间上满足dirichlet充分条件。定理1 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则有其中， 。事实上，作 使在上分段光滑，将在上的作以为周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里叶级数展开式为 。若取，则有 。定理2 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则公式仍成立。3下面，我们再来看傅里叶级数收敛性的判定定理，重点看其中的两个判别法，即Dini判别法和Jordan判别法。首先我们记的傅里叶级数的前项部分和为 。Dini判别法：若以为周期，在绝对可积，且存在 ，使得存在，则的傅里叶级数在收敛到,即。Dini判别法的一个推论是Lipschitz判别，即：若以为周期，在绝对可积，且在满足阶的Lipschitz条件，即存在与常数，使得成立，则的傅里叶级数在收敛到。 推论1 若以为周期，在绝对可积，且在有有限导数，则的傅里叶级数在收敛到。推论2 若以为周期，在绝对可积，且在上处处可微，则的傅里叶级数收敛到。Jordan判别法：设以为周期，在绝对可积，且为上的有界变差函数，则其傅里叶级数在内每一点处都收敛到 。10除此之外，还有更加密的收敛性判定如一致收敛性、平均收敛性等。在傅里叶级数的求和理论中，有一种是在其线性求和中通过构造求和因子，使得带有该求和因子的积分算子在全轴上一致收敛到每个以为周期的连续函数，并对函数类的逼近均达到最佳收敛阶，其中参数为任意给定的奇自然数。我们记为赋范的以为周期的连续函数空间，设，它的傅里叶级数在区间上，利用三角恒等式可以得到其前项部分和为这个积分就是著名的Dirichlet奇异积分算子，而就是阶Dirichlet核函数。要改进其收敛性，一种方法是从Dirichlet核函数出发，构造出新的核函数，使得带有新核的积分算子能在全轴上一致地收敛到，通过Dirichlet积分算子构造出一类组合型的积分算子，该积分算子也在全轴上一致地收敛到每个连续函数，且具有最佳收敛阶。而另一种方法是求和因子法，给出求和因子阵：，则有求和问题：，若求和因子要满足下：对每个，其中为常数, 则在全轴上一致地收敛到每个连续的。构造求和因子：设为任意给定的奇自然数，取 ，其中，且满足下面方程：。于是我们可以得到一个新的奇异积分算子： 。以此进行计算下去。12最后，举例说明利用傅里叶级数进行数列求和的方法及其应用。并以一类数列为例进行说明。三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，18世纪是分析的时代，数学进入到更高层次的研究，傅里叶级数和数列求和均是数学分析中的重要组成部分，因此研究傅里叶级数在数列求和用的应用具有重大的意义。目前，对于傅里叶级数的研究已经有了非常丰富的研究资料，并且其应用领域越来越广泛，在数学本身以及自然现象、工程技术，物理研究都有很大的作用。本文介绍了研究傅里叶级数的历史背景、现状，归纳梳理傅里叶级数的定义、性质及求和方法，结合例子说明傅里叶级数在数列求和中的应用。随着科学技术的发展，傅里叶级数作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻。四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）1 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）M. 北京: 高等教育出版社, 2001.2 刘杰民，刘金堂. 函数的Fourier级数展开J. 沈阳航空工业学院学报，2004，21 5 :87-89.3 魏全顺. 关于函数的Fourier级数系统展开方法J. 湖南第一师范学报，2007，7 1 :158-160.4 何国柱. 关于傅里叶级数展开式的一种写法的讨论J. 乐山师范学院学报，2008，23 12 :27-28.5 谭宏武，李莉. 傅里叶级数展开的一个简便算法J. 高等数学研究，2004，7 3 :35-36.6 成青松. 一类函数的傅里叶级数展开式的简便计算也谈对称性的使用意识J. 高等数学研究，2006，9 3 :28-29,64.7 田长安，王永忠. 函数的两种傅里叶级数展式及同一性证明J. 新乡师范高等专科学校学报，2004，18 5 :5.8 章联生. 傅里叶系数公式推导的一个注记J. 绵阳师范学院学报，2005，24 5 :10-12.9 孟凡友. 关于Fourier级数收敛定理的研究J. 牡丹江师范学院报，2000，1 2 :25-26.10 高义，高建国. 关于Fourier级数收敛性的判定定理J. 高等数学研究，2010，13 3 :26-27.11 何倩，项雪艳. 关于一个典型函数Fourier级数部分和的收敛性J. 宝鸡文理学院学报，2007，27 1 :20-21,92.12 何甲兴，王淑云，杨明. Fourier级数的求和理论与方法求和因子法求和J. 数学的实践与认识,2003，33 12 :112-118.13 Wang Shuyun，He jiaxing，Song Dongzhe. On Summability Theory and Method of Fourier Series J.Jouenal of Mathematical Study, 2005，38 1 :117-119.14 任孚鲛. 关于类无穷级数和的傅里叶求法J. 雁北师范学院学报, 2004,20 2 :48-49.15 Yu Guohua. Approximationn of Convex Type Function by Partial Sums of Fourier SeriesJ. Appl.Math.J.Chinese Univ.Ser.B, 2004,19 1 :67-76.16 V.Komornik, P.Loreti. Fourier Series in Control TheoryM. New York:Springer-Verlag,2000.开题报告利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和一种特殊的三角级数法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出Fourier series，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数是以为周期的函数，通过变量置换或可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是：， （1）其中 （2）因为，所以。于是由（1）和（2）式分别 （3）与 （4）这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（3）式是的傅里叶系数。若是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数（4）是 （5）于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 ， （6）其中如（5）式所示。（6）式右边的级数称为余弦级数。同理，若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得 （7）所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 ， （8）其中如（7）式所示。（8）式右边的级数称为正弦级数。1 而不同类型的区间会有其与之相应的傅里叶展开式。我们设在相应区间上满足Dirichlet充分条件。定理1 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则有其中， 。事实上，作 使在上分段光滑，将在上的作以为周期的延拓,由引理和基本情形易得在上的傅里叶级数展开式为 。若取，则有 。定理2 设函数在上满足Dirichlet充分条件，且，则公式仍成立。3下面，再来看傅里叶级数收敛性的判定定理，重点看其中的两个判别法，即Dini判别法和Jordan判别法。首先我们记的傅里叶级数的前项部分和为 。Dini判别法：若以为周期，在绝对可积，且存在，使得存在，则的傅里叶级数在收敛到，即。Dini判别法的一个推论是Lipschitz判别，即：若以为周期，在绝对可积，且在满足阶的Lipschitz条件，即存在与常数，使得成立，则的傅里叶级数在收敛到。 推论1 若以为周期，在绝对可积，且在有有限导数，则的傅里叶级数在收敛到。推论2 若以为