【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】中学数学中的一些解题思想和方法的研究.doc

【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】中学数学中的一些解题思想和方法的研究 （20_ _届）本科毕业论文中学数学中的一些解题思想和方法的研究摘要：数学思想方法对人们学习和应用数学知识解决问题的过程中的思维活动，起着指导和调控的作用。数学思想是数学的灵魂，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本文大致的介绍了中学数学基本解题方法：配方法、数形结合法、化归法、构造法以及数学的基本思想。精通解题方法，可以夯实解题基本功，增强解题技巧，提高解题效率，促进对数学知识的熟练掌握。关键词：中学数学；解题；方法；思想；数学思维。Some of the middle school mathematics problem-solving thoughts and methods of researchAbstract:The method of mathematics plays the role of guidance and regulation for people to learn and applied mathematics knowledge to solve the problem in the process of thinking activity. The thought of mathematics is the soul of mathematics. Knowledge is foundation, methods is means, thought is deepening. Enhance mathematics quality core is to improve students mathematical method and mathematical thought understanding and using. Mathematics quality integrated embodiment is ability. In order to help the students master the key to solving problem solving, master thought method, this paper introduced the basic steamer for middle school mathematics problem solving method: pairing square, digital combine with graphics, tectonic, and the basic thought of mathematicsKey words: middle school mathematics; Problem solving; method; thought; the thought of mathematics.目录1 中学数学的解题方法和思想11.1 中学数学常见的解题方法和思想11.2 数学解题方法和思想的培养22 化归法32.1 化归法的概念32.2 数学中的化归思想42.3 化归法在中学数学教学解题中的应用53 数形结合63.1 数形结合的思想方法63.2 数形结合法在解题中的应用74 构造法94.1 构造法的思想方法94.2 构造法证明不等式115 换元法125.1 换元法在解方程中的巧用126 数学思维146.1 数学的直觉思维146.2 如何培养数学直觉思维15总 结17致 谢18参考文献191 中学数学的解题方法和思想1.1 中学数学常见的解题方法和思想在中学数学教学中，数学解题思想和方法有很多，最常见的有数形结合思想、构造思想、化归思想、换元思想、集合映射思想、逻辑分类思想等等。又有人称之为数形结合方法、构造法、换元法、参数法等；也有人干脆合二为一，称数形结合思想方法、构造思想与方法。时而思想变成了方法，时而方法又成了思想。其实，并非人们不知道思想和方法的区别，这正说明了数学思想与数学方法关系密切。但是，无论二者关系如何密切，仍为不同的体系。方法属于方法论的范畴，是在思想指导下，进行实践操作的各种手段和经验的总结，方法是指向实践的，是理论用于实践的中介，方法是实施有关思想的技术手段。思想属于世界观的范畴，是人们对自然界、人类社会和思维发展各领域认识的客观反映。常常指导人们的实践活动。思想是相应方法的精神实质与理论依据。所以，数学解题思想就是从数学问题的解决过程中提炼出来，并能反应解题规律的文字性理论，是对加工处理问题信息时所运用的方法、所采取的手段以及思维活动的本质反映。它对问题解决有指导作用。数学解题方法对解题实践也有一定的指导作用，但它不及数学解题思想抽象、概括、深刻，指导我们解题实践活动的范围也不及解题思想广泛。数形结合、构造、逻辑分类等等都是解题方法，不能作为解题思想。每道数学题不是只局限于一种解题方法，有时候我们会遇到一题多解，在这种情况下，利用简单的解题方法可以让我们在解题过程中节约很多时间，灵活运用这些解题方法可以把问题变得简单化。如下面这个例子，可以想到用均值换元法来解题，但我们也可以将它看成是一个几何问题。例1.1：实数、满足 ，求的最小值。由想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设，代入可求。由，设，其中， 所以的最小值是。看作空间内的一个平面方程，则就是原点到这个平面距离的平方。若把这部分图形拿出来分析，也就是在一个四棱锥中，求顶点到地面的距离，最后求得最小值是。数学问题的解决就是人们感知问题情景呈现的各种信息后，把问题信息与认知结构相互作用，寻找问题信息与大脑中认知结构之间的联系，从而改变大脑认知结构的过程。所以问题解决的过程中包含着两种活动。第一种活动，就是加工信息所采取的实践操作活动，即采取哪些方法和手段进行信息加工。第二种活动，是信息加工的思维活动。即支配我们寻找加工信息的方法、策略的内在思维活动。所以，数学解题思想就是对这两种活动客观的、内在的、本质的反映 。我们认为第一种活动的规律是化归思想，第二种活动的规律是寻旧思想。所以，数学解题思想就是化归寻旧思想。1.2 数学解题方法和思想的培养中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。1、结合初中数学大纲，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究2、以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中3、重视课堂教学实践，在知识的引进、消化和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思想方法 。这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法-化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化。所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把待解决的问题进行变形，转化，直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题解答的一种手段和方法。张奠宙、过伯祥著的数学方法论稿中指出：“所谓化归方法，是将一个问题A进行变形，使其归结为另一个已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就能解决了”。化归思想方法被古住今来许多科学家、实际工作者所重视，十七世纪法国数学家笛卡尔经过长期思考，创造了解析几何理论，他的理论基础就是利用坐标系把带有两个未知数的代数方程看成平面上的一条曲线，从而利用代数方法研究几何问题。实际上，笛卡尔正是运用化归的思想方法才创立了解析几何学。2.2 数学中的化归思想“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。1、.映射法映射法是用以实现化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”。利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将原来的问题转化为问题A，然后，在求得问题A的解答以后，再通过逆映射求得原问题的解。映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，使几何问题转化为代数问题。此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。恒等变形法在数学解题中，恒等变形占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由未知向已知的化归，使我们比较容易地求得问题的解。例2.1：解下列方程分析：解上面两个方程，先利用恒等变形把它化为容易求解的方程。可变为。例2.2：求证（）能被6整除。分析：把原式进行恒等变形，得到 从而，只需证明三个连续自然数之积能被6整除即可，而这个问题是大家熟知的。转化与化归思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想方法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等。转化与化归是数学思想方法的灵魂。目标简单化、和谐统一性、目标具体化、标准形式化和低层次化都是化归的原则；各映射法、分割法和变形法都是转化的策略；一般化与特殊化的转化、正与反的转化、实际问题数学化、常量与变量的转化等都是化归的基本策略。正如前面所给出的，实现化归的方法是多种多样的。 2.3 化归法在中学数学教学解题中的应用一、将未知的问题转化归结为已知的知识将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。例2.3：求函数的最值分析：引入代换，则将问题转化为熟悉的二次函数最值问题，极易求解。解：设,则 且当t 即x 2k+时，y + k为整数 当t ?1即x 或k时，ymin ?1 k为奇数 二、将复杂问题转化归结为简单问题 。 复杂问题简单化是数学解题中很常规的思考方法。若能恰当转化，可使问题迅速获解。如果我们引导学生注意分析问题，对问题进行逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性。例2.4：求的最大值分析：该题若运用公式展开相当繁锁，难以得出结果，若做以下转化，则非常巧妙。 这样的最大值即可得到。三、数形之间的转化注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。例2.5：求函数f x 的最大值。分析：将函数式变形，得：上式可看作“在抛物线y x2上的点P x,x2 到点A 3,2 ，B 0,1 的距离之差”如图：由知，当P在AB的延长线上的P0处时，f x 取到最大值|AB|所以f x 。 图（1）3 数形结合3.1 数形结合的思想方法数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 。数形结合的思想是学习和研究数学重要的基本思想之一。它不仅是一种好的解题方法，能使学生在运用它解题时，获得意想不到的效果，而且可以培养学生思维能力，可以帮助提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。形与数的结合是一种重要的解题策略，它能使学生对问题易于理解，易于联想，易于推测，对解决问题，会起到启发、简化或验证的作用。例3.1：设求分析：分别先确定集合A，B的元素， 图（2）然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：，（公共部分）， （整个数轴都被覆盖）， 除去重合部分剩下的区域 ， 除去覆盖部分剩下的区域 上面的例子，我们若直观地去求，很难得出正确答案，但是一旦和数轴结合起来，这些几何问题就可以迎刃而解。3.2 数形结合法在解题中的应用一、利用数形结合思想解决集合的问题 。利用韦恩图法解决集合之间的关系问题。一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题。例如：例3.2：有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化小组的6人，同时参加理、化小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则有：即：，即同时参加数理化小组的有1人。 （图3）二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题。利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。利用二次函数的图像与x轴交点的横坐标是方程f x 0的实根，根据二次函数与x轴的交点情况就可以确定方程f x 0的实根的情况，于是我们利用函数y f x 的图像可以直观解决问题。例如：例3.3：、求不等式的解集 分析：我们先联想对应的二次函数的图像草图，抛物线开口向下，与轴没有交点，很明显，无论取任何值时都有。即,的解集为空集。而的解集为全体实数。 图（4）因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集。利用数形结合思想比较函数值的大小。一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较例如： 例3.4：试判断三个数间的大小顺序。分析：这三个数我们可以看成三个函数： 在时，所对应的函数值在同一坐标系内做出这三个函数的图像 图3，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置， 从而可得出结论：。 （图5）4 构造法4.1 构造法的思想方法数学的学习过程，离不开解题。美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”。在数学教育中，解题活动可以说是最基本的活动形式。一个好的问题的解决方式往往有多种。用构造法解题是一种即古老又年轻的科学方法，如欧拉“七桥问题”的解决，历史上许多数学家都曾用构造法解决过数学中的难题 。“构造法”即构造性解题方法，是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。这里所说的“元件”可以是函数、数列、向量、曲线定义、几何图形、向量、复数与命题等，甚至于构造类比问题使问题转化，并得到明确解决，构造“元件”是手段，转化问题是策略，解出数学问题是目的。在中学数学课的教学中，引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题 能力，更重要的是通过这种解题方法的运用可丰富学生的想像力，培养他们的创造性思维能力 。应用构造法解题的关键有二：一是要有明确的方向，即要明确为了解决什么问题而建立一个相应的构造；二是要弄清条件 的本质特点，以便重新进行逻辑整合。用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。一、构造辅助数与式在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。例4.1：当时，求的值. 解：由条件得 所以构造的因式y 1二、构造函数在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证（解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。例4.2：证明：如果，那么证明：构造函数易证在R上是奇函数且单调递增+ lg1 0， 即：，又是增函数， 即。三、构造方程方程，作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。构造方程是初等代数的基本方法之一。如列方程解应用题，求动点的轨迹方程等即属此法 。构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤：A . 将所面临的问题转化为方程问题；B. 解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式与韦达定理），得出相应结论；C. 将方程的相应结论再返回为原问题的结论。例4.3：已知，求证：分析：设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的面目出现，再由得到不等式。设， 易证，再求得，就是方程的两个实根,由四、构造几何图形（体）例4.4：求函数的值域解析：其几何意义是平面内动点P（，0）到两定点M（2，3）和 N（5，-1）的距离之和（如图6）为求其值域只要求其最值即可，知当M，N，P三点共线（即P在线段MN上）时， 图（6）取得最小值，无最大值，故得函数的值域为 。4.2 构造法证明不等式在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。构造向量证明不等式例求证：简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成模的平方，又,为使为常数，根据待定系数法又可构造于是因为所以即构造数列证明不等式例，求证：。证明：构造数列，使其通项为， ，。即是递增数列，所以当时，恒有于是。三、构造函数证明不等式例4已知，求证简析与证明：原不等式即为：将a看作自变量，于是问题转化为只须证：当，时，恒为正数。因而可构造函数 1a1 若原不等式显然成立。若，则是a的一次函数在上为单调函数而，即此题还可由题设构造不等式两式相加得即，求的值。解：设，则与已知联立解得，。由，解得或，原式的值为0或2。三角换元例5.2：解不等式。解：设，则原不等式可化为，即，解得，原不等式的解集为。和差换元例5.3：求函数的最大值。解：设则由由得， ，故当时，最大值为。增量换元例5.4：,求证：。证明 令，又设，其中，又，由上式得。，原不等式得证。五、换元法在初中解方程中运用也很广泛，其中在整式方程中：例5.5：解方程 。 分析：这个方程的系数较大，如果利用公式法来解，运算量太大，利用换元法来解，可以将题目系数转化得比较简单。解：设，则原方程变形为：，解得 。则有 或 。原方程的解为 。在分式方程中的巧用：例5.6：解方程 分析：通过换元法，把看做一个整体，将分式方程转化为整式方程。解：设，则原方程变形为 。解得。当，解得 ；当，解得 。经检验：原方程的解为，。6 数学思维6.1 数学的直觉思维所谓数学直觉思维，就是大脑基于有限的数据资料和知识经验，充分调动一切与问题有关的显意识和潜意识，在敏锐想象和迅速判断有机结合下，从整体上单刀直入地领悟数学对象的本质，洞察数学结构和关系的一种思维方式。其实数学直觉思维也是一种很重要的思维形式。直觉思维是人类思维的重要形式，是创造性思维的基础；直觉思维是未来的高科技信息社会中，能适应世界新技术革命需要，具有开拓、创新意识的开创性人才所必有的思维品质。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。这种思维的实质是对数学对象及其结构、关系的想象和判断。纵观人类科技进步发展史，许多重大的发现都是基于直觉：欧几里得几何学的五个公式就是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。因此直觉思维是学生学习素养的一个重要的组成部分 ?在目前和今后的数学教学中，如何培养传统的数学教学中，教师往往过于强调学生要言之有理，言之有据，从而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养，很少让学生去感觉、去猜测，由于数学知识的严谨性、抽象性和系统性的特点，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，同时，数学教师由于长期受演绎论证的训练，过多的注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展也容易忽视直觉思维的存在和作用。在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。 直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,有以下三个主要特点：简约性直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰的触及到事物的“本质”。创造性现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的、发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。自信力学生对数学产生兴趣的原因有两种：一种是教师的人格魅力，其二是来自数学本身的魅力。不可否认情感的重要作用，但笔者的观点是，兴趣更多来自数学本身。成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。6.2 如何培养数学直觉思维一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。数学直觉是可以 。（1 扎实的基础是产生直觉的源泉直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。 2 渗透数学的哲学观点及审美观念直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴的把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。 3 重视解题教学教学中选择适当的题目类型，有利于培养，考察学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。 4 设置直觉思维的意境和动机诱导这就要求教师转变教学观念,把主动权还给学生。对于学生的大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征，重视数学思维方法的教学。总 结数学解题思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。对于同一道数学题，根据个人知识水平不同他们所采取的解题思想与方法也会不同。这就要求教师在教授学生知识的同时培养他们发散性思维。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。13 张雄.李得虎.数学方法论与解题研究M.北京:高等教育出版社.2008年版. 俞平.数学问题化归理论与方法M.广西:广西师范大学出版社,1999年版. 张辉.化归思想在数学解题中的运用J.中学数学教学,2001, 1 . 邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用J.河北：河北理科教学研究,005,03,43. 杨明.浅谈数学思想方法在解题中的应用J.河北：河北理科教学研究，2008,03,39-40. 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Mathematics Education Research Journal.1994,6 1 : 37-55. 郭向丽.浅谈数学直觉思维及培养J.中国校外教育,2007, 3 .文献综述中学数学中的一些解题思想和方法的研究前言部分数学，由于其具有广泛的应用价值、卓越的智力价值和深刻的文化价值，因此在基础教育中占有特殊重要的地位。在中学的数学教育中，主导的内容不是那些正在发展中的现代数学分支，而是在人类文化宝库中业已形成的数学思想、知识和方法。“问题”是数学的心脏，数学活动主要是提出问题和解题，而在数学教育活动中，“解题”更是最基本的活动形式。无论是学生的数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智力的培养和发展，都必须通过“解题”。综观有关解题研究的论述，无论是国外的研究还是国内的研究，在解题理论研究上较多，在解题教学实践上的研究较少，比如：一道题我们该如何教？为什么这样教？我们应教给怎样的学生？这些方面研究较少。 1、解题教学研究中的问题：有不少人认为，随着数学内容的学习，数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地产生。解题理论的研究纯属多余。而来自学生的情况却是:许多人学了课本内容却不会解题，还有的人解了许多题却说不清思路。可见，再丰富的经验也无法代替理论，缺乏理论指导的实践常会流于盲目。有些传统题目十几年乃至几十年无任何改进，从这本书抄到那本书，局部上甚至有流行的错误。解题研究多探讨“怎样解”，较少问“为什么这样解”，长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高与实质上的突破。将解题的研究归结为应付升学的考查，解题的规律被简单化为“对题型”、“套解法”，由此产生盲目的“题海战术”。这种模式，将智力开发等同于技艺训练，以考试为目标，以押题、猜题为主要手段，即使获得了高分也扼杀了学生的能力。2、对数学解题研究方向的思考：解题研究应该谋求和把握的两个发展方向，数学解题研究既不应局限于一招一式的简单模仿，也不应停留于技能技巧的反复训练，而应提升到数学思想和数学方法的理论高度，更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。数学解题的深入研究应该从两个方向上同时一展开：其一是数学知识方向，即解题的每步前进得以依赖的数学规则是什么，如一招一式、技能技巧所能凭借的数学知识是什么，就有学者在研究解题时发现，一些所谓的解题技巧并不是高不可测、深不可究的认识对象，也不是妙手偶得、心血来潮的思维产物，在其背后其实就是不同数学知识之间的本质联系。其二是学习心理方向，即学生解题的心理过程究竟如何展开，如题目已知信息如何启动学生己有知识，如何调动学生解题经验?题目的已知信息与调用的知识经验如何相互作用?在其作用过程中受到哪些因素影响?二、主题部分数学教学过程不仅仅是将数学知识传授给学生，更重要的是通过解题，教会学生解题的一种思想与方法。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是起作用。经阅读大量的资料，对他们的主要成果阐述如下：利用数形结合的思想方法解题,主要包括两方面问题,一是“以形助数”即将“数”的问题借助于图形性质使之直观化、形象化而利于获得解决。二是“用数解形”,即将“形的问题经过数量化处理,并借助计算解决。本文就前一个方面的问题,谈谈如何运用数形结合的思想解题。在数学教学中，数形结合的解题方法具有直观、灵活的特点，数形结合也是数学解题中的一种重要方法，应用十分广泛数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助本文就数学教学中数形结合思想进行简单的介绍和分析，并对其应用作了研究. 传统的数学教学中，教师往往比较重视学生逻辑思维能力的培养，而忽略了对学生数学直觉思维能力的培养。其实，数学直觉思维也是一种很重要的思维形式对数学直觉思维的概念及其培养途径作了一些探讨。数学思维具有实验、猜想、想像、直觉、灵感等特点。对于学生来说，数学学习是一个再创造的过程。这个过程要求学生除了必须具有一定的逻辑推理能力外，更需要具有非逻辑推理能力。可见我们在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想像力的培养。特别是直觉思维能力的培养，由于长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的，同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，也是现代社会对人才的需求。学生数学理解视为发展的内在化教师采取一系列教学建构主义观点教育学生是缓慢的数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质中，他围绕“怎样解题”和“合情推理”展开研究，开创了数学启发式，即关于“数学发现和发明的方法和规律”的研究，其“问题解决”法也成为英、法发展数学的主要思想。日本数学家，数学家米山国藏也非常重视中学数学思想方法的教学，著有数学的精神，思想与方法一书，该书精辟的论述了贯穿于整个数学的精神实质、重要的数学思想，各种重要的研究方法和证明方法，为我们勾画出整个近代数学的沿革，并对数学精神、思想和方法的教学提出了许多好的见解，该书对于数学思想方法的论述被数学理论者和教师广征博引，成为重视数学思想方法的典范。米山国藏认为数学思想能够影响一个人的一生，所以在中小学时期就应该培养学生运用数学思想方法解决实际生活中遇到的数学问题的能力。解题研究应该谋求和把握的两个发展方向，数学解题研究既不应局限于一招一式的简单模仿，也不应停留于技能技巧的反复训练，而应提升到数学思想和数学方法的理论高度，更应进入到数学教学和数学学习的心理层面。在数学家看来，数学解题的深入研究应该从两个方向上同时一展开：其一是数学知识方向，即解题的每步前进得以依赖的数学规则是什么，如一招一式、技能技巧所能凭借的数学知识是什么，就有学者在研究解题时发现，一些所谓的解题技巧并不是高不可测、深不可究的认识对象，也不是妙手偶得、心血来潮的思维产物，在其背后其实就是不同数学知识之间的本质联系。其二是学习心理方向，即学生解题的心理过程究竟如何展开，如题目已知信息如何启动学生己有知识，如何调动学生解题经验?题目的已知信息与调用的知识经验如何相互作用?在其作用过程中受到哪些因素影响?这些相关问题在文献13、14、15中都有深入研究。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文主要研究以下基本内容与问题：1、如何调动学生解题经验?2、化归方法之间存在哪些密切联系？3