1.1回归分析的基本思想及其初步应用(3).ppt

1 1回归分析的基本思想及其初步应用 三 1 确定解释变量和预报变量 2 画出散点图 3 确定回归方程类型 4 求出回归方程 5 利用相关指数或残差进行分析 问题 一只红铃虫的产卵数y与温度x有关 现收集了7组观测数据 试建立y与x之间的回归方程 解 1 作散点图 从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似 这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近 解 令则z bx a a lnc1 b c2 列出变换后数据表并画出x与z的散点图 x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合 2 用y c3x2 c4模型 令 则y c3t c4 列出变换后数据表并画出t与y的散点图 散点并不集中在一条直线的附近 因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的 非线性回归方程 二次回归方程 残差公式 在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题 对于同样的数据 有不同的统计方法进行分析 我们要用最有效的方法分析数据 现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据 他们分别是 可以利用直观 散点图和残差图 相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好 问题六 若两个变量呈现非线性关系 如何解决 分析例2 例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关 现收集了7组观测数据列于表中 1 试建立产卵数y与温度x之间的回归方程 并预测温度为28oC时产卵数目 2 你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化 方法一 一元函数模型 产卵数 气温 变换y bx a非线性关系线性关系 对数 方法三 指数函数模型 由计算器得 z关于x的线性回归方程相关指数因此y关于x的非线性回归方程为 当x 28时 y 44 指数回归模型中温度解释了98 的产卵数的变化 最好的模型是哪个 显然 指数函数模型最好 利用残差计算公式 由残差平方和 故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好 或由条件R2分别为0 98和0 80 同样可得它们的效果 在散点图中 样本点没有分布在某个带状区域内 因此两个变量不呈现线性相关关系 所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系 令z lny 则变换后样本点应该分布在直线z bx a a lnc1 b c2 的周围 利用线性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程 当回归方程不是形如y bx a时 我们称之为非线性回归方程 根据已有的函数知识 可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围 其中c1和c2是待定参数 课堂知识延伸 我们知道 刑警如果能在案发现场提取到罪犯的脚印 即将获得一条重要的破案线索 其原因之一是人类的脚掌长度和身高存在着相关关系 可以根据一个人的脚掌长度来来预测他的身高 我们还知道 在统计史上 很早就有人收集过人们的身高 前臂长度等数据 试图寻找这些数据之间的规律 在上述两个小故事的启发下 全班同学请分成一些小组 每组4 6名同学 在老师的指导下 开展一次数学建模活动 来亲自体验回归分析的思想方法 提高自己的实践能力 数学建模的题目是 收集一些周围人们的脚掌长度 前臂长度中的一个数据及其身高 来作为两个变量画散点图 如果这两个变量之间具有线性相关关系 就求出回归直线方程 另选一个人的这两个变量的数据 作一次预测 并分析预测结果 最后以小组写出数学建模报告 报告要求过程清晰 结论明确 有关数学论述准确 以下两个问题需要注意 1 如果脚掌长度不方便 可改量脚印的长度 2 数据尽量取得分散一些 实际问题 样本分析 回归模型 抽样 回归分析 预报精度 预报 比 数学3 中 回归 增加的内容 数学 统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y bx a用回归直线方程解决应用问题 选修2 3 统计案例引入线性回归模型y bx a e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果 回归分析知识结构图 对于非线性回归问题 并且没有给出经验公式 这时我们可以画出已知数据的散点图 把它与必修模块 数学1 中学过的各种函数 幂函数 指数函数 对数函数等 的图象作比较 挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数 然后采用适当的变量代换 把问题转化为线性回归问题 使其得到解决 例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关 现收集了7组观测数据列于表中 试建立产卵数y与温度x之间的回归方程 方法一 一元函数模型 产卵数 气温 变换y bx a非线性关系线性关系 对数 方法三 指数函数模型 由计算器得 z关于x