第十六讲定积分与微积分基本定理.ppt

第十六讲定积分与微积分基本定理 走进高考第一关基础关教材回归1 定积分的定义如果函数f x 在区间 a b 上 当n 时 和式无限接近 叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 a b分别叫做 与 区间 a b 叫做 函数f x 叫做 x 叫做积分变量 f x dx 叫做被积式 连续 某个常数 这个常数 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 对定义的几点说明 1 定积分是一个常数 2 用定义求定积分的一般方法是 分割 n等分区间 取点 i x i 1 x i 近似代替 求和 取极限 3 定积分的几何意义 如果f x 在上连续且恒有f x 0 那么定积分表示 4 定积分的性质 k为常数 其中a c b 和曲线y f x 所围成的曲边梯形的面积 区间叠加 注意 1 定积分的性质 其含义有两层 如性质 若定积分存在 则定积分存在且 2 定积分性质 可推广到任意有限个函数的情况 2微积分基本定理 一般地 如果f x 在区间上连续 且F x f x 那么 这个结论叫做微积分基本定理 又叫做牛顿 莱布尼兹公式 也可表示为 注意 1 用定义求定积分的方法 分割 近似代替 求和 取极限 要借助于求曲边梯形的面积 变力作功等案例 体会定积分的基本思想方法 用微积分基本定理求定积分 关键是找到满足F x f x 的函数F x 即找被积函数的原函数 利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F x 利用微积分基本定理求定积分 有时需先化简 再积分 利用定积分求所围成平面图形的面积 要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限 2 几种典型的曲边梯形面积的计算方法 由三条直线x a x b a b x轴 一条曲线y f x f x 0 围成的曲边梯形的面积 如图 由三条直线x a x b a b x轴 一条曲线y f x f x 0 围成的曲边梯形的面积 如图 3 由两条直线x a x b a b 两条曲线y f x y g x f x g x 围成的平面图形的面积 如图 考点陪练1 下列等式成立的个数是 A 0B 1C 2D 3 lim 解析 本题仅 正确 答案 B 评析 本题考查定积分的定义 2 下列值等于1的积分是 A B C D 解析 而其他选项的值都不是1 答案 C 3 的值是 A 0B C 2D 4答案 C 4 已知自由落体的速度为v gt 则落体从t 0到t t 0所走过的路程为 A B C D 解析 答案 C 5 曲线与坐标轴围成的图形的面积是 A 2B 3C D 4解析 答案 B 解读高考第二关热点关类型一 求定积分解题准备 定积分的概念是微积分的基本概念之一 也是用积分解决实际问题的基本方法 它主要包括 分割 近似代替 求和 取极限四环节 其中关键环节是求和 定积分定义体现的是先分后合 化曲为直 此外 在计算定积分时还要很好地理解 和式的极限 的含义 典例1 求下列定积分 1 2 3 分析 先由定积分的性质将其分解成简单的定积分 再利用牛顿 莱布尼兹公式求解 类型二 定积分的几何意义解题准备 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 1 画出图形 2 确定图形的范围 通过解方程组求出交点的横坐标 定出积分的上 下限 3 确定被积函数 特别要注意分清被积函数的上 下位置 4 写出平面图形面积的定积分的表达式 5 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 探究 一列火车在平直的铁轨上行驶 由于遇到紧急情况 火车以速度 1 紧急刹车多久车停住 2 紧急刹车后火车的路程 答 12s后火车停止 此时行驶115m 评析 本题求变速运动的路程s 其本质是速度函数在某区间上的定积分 类型三 定积分的综合应用解题准备 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤 画出图形 确定被积函数 确定积分的上 下限 并求出交点坐标 运用微积分基本定理计算定积分 求出平面图形的面积 典例3 已知二次函数满足f 0 f 1 0 且f x 的最小值是 1 求f x 的解析式 2 设直线其中为常数 若直线l与f x 的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S 1 t 直线l与f x 的图象所围成封闭图形的面积是S 2 t 设当g t 取最小值时 求t的值 3 已知m 0 n 0 求证 n 评析 本题考查导数 定积分 函数性质 不等式等知识 考查对知识点的综合运用能力 笑对高考第三关成熟关名师纠错误区 定积分几何意义不明致误典例已知二次函数f x ax2 bx c 直线l 1 y t2 8t 其中0 t 2 t为常数 l 2 x 2 若直线l 1 l 2与函数f x 的图象以及l 1 y轴与函数f x 的图象所围成的封闭图形如右图的阴影所示 1 求a b c的值 2 求阴影面积S关于t的函数S t 的解析式 剖析 用定积分表达阴影面积时 用错定积分的几何意义 如把阴影面积写成 就出现了面积为负值的结果等 x2 变式 两曲线x y 0 y x2 2x所围成的图形的面积是 快速解题典例 求函数y cosx与直线及x轴所围成图形的面积 错解 错解分析 求四条曲线所围成的图形的面积 要数形结合 画出图形来分段求面积 特别当f x 0时 围成的面积应是积分值的相反数 解题策略定积分求面积三技巧1 灵活选用积分变量典例1如下图 求直线y 2x 3与抛物线y x2所围成图形的面积 分析 从图形上可以看出 所求图形的面积可以转化为梯形与曲边梯形面积的差 进而可以用定积分求出面积 为了确定被积函数和积分的上 下限 我们需要求出两条曲线的交点的横坐标 评析 本题若选用横坐标x为积分变量 则平面图形的面积为 若选用纵坐标y为积分变量 则平面图形的面积为可见 以y为积分变量 不如以x为积分变量简单 2 分割计算典例2 如下图 计算由直线y x 4 曲线及x轴所围图形的面积 分析 通常是以x为积分变量 把所求平面图形分割成两部分S 1和S 2 分别求面积 再求和 其实 解答本题还可以以