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淡化技巧 注重通用 -谈“符号、等号”在剖解不等式问题时的通用性陈定昌（上虞市春晖中学，浙江 312353）大家知道，实数的大小是由实数的减法运算来定义的，换言之，即是取正号，亦即取负号从不等式知识、方法的发生、发展过程看，除了符号这个通用点外，源于均值不等式本身的不等式取等号的条件，应是我们娴熟不等式应用的另一个通用点据此，“符号、等号”是我们剖解不等式问题的“魂”，具有各种解题技巧无可替代的基础地位！ 1. 符号符号，始于不等式定义，贯穿于不等式性质与基本不等式等，正是符号才让我们提炼出“比较法”等，故在剖解不等式问题时，应首先考虑它！1.1 比较大小时应分析符号例1剖解 当必一正一非正；当四个数全都同号时，若均为正数，则从而有；若均为负数，则可得评注 初看本题，易让我们立刻想起“作差比零、作商比1”等，要明白：“比较大小”并不一定都用“比较法”!1.2 求最值时应明断符号例2设M=|的最小值剖解 ， =而同号，M=当且仅当即或时M取得最小值评注 乍看本题，会使我们感到“难”，许是我们淡忘了“先应明断绝对值里面的数是正数、零还是负数”所致！1.3 证、解不等式时应会用符号例3 设(1)证明：介于与之间；(2)试判断、哪一个更接近于，请说明理由剖解 (1)“介于与之间”即为“”由于=，可知故介于与之间； (2)由(1)，1即得，知更接近于评注 剖解(1)的关键是，先将结论化归成某种符号：，而并非先得考虑什么技巧！ 例4 解不等式剖解一原不等式可化成 + + +对不等式进行数轴标根并予以符号分析， -1 0 1 2 3 x即得原不等式的解集为： - -剖解二原不等式可化为： ()或 () 解()得解()得答案略评注 本例给出的二种解法，其实质是一样的，即用符号来化归不等式而错误“原不等式可化为：”正是由于疏忽了这一点所导致的！2. 等号 等号，含在具有“或”关系的二种不等号“、”中在有关不等式问题中常面临三种情境：即求解过程中等号的取舍、均值不等式与含绝对值不等式中取等号条件的运用，以及不等式取等号时条件的“同一性”与“存在性”等 2.1 确定不等式结论前应取舍等号例5 使不等式对两不等正实数都成立的实数的取值范围是 剖解 因所以记，则原不等式即为又，等号当且仅当时成立，故，得的取值范围是评注 本题在实际练习时常有诸如(,+)等类的错误，原因之一，是解题者没有留意有关结论中“等号的取舍”而减少此类错误的唯一一点仅需我们有等号的意识而已，根本无须要有什么技巧！2.2 证明不等式问题时应运用等号例6 设：剖解 因不等式左、右两边取等号的条件分别为，而与二者必有一者成立故有又，所以当，；当，因而原不等式总成立！评注 证明本题，“比较法、综合法、分析法”等已显得苍白无力，即使用上了，过程也将较为沉长，用含绝对值不等式取等号的条件，便使本题获得简捷证明！2.3 考虑不等式连用时应紧扣等号例7 设求证：剖解 又，得评注 证明本题时，常会出现等，这是未紧扣不等式取等号的条件所引发的！本题证明时用了三次不等式，故取等号时各个不等式应同时取等号：在已知条件下，这种“同一性”、“存在性”要求被满足，故原不等式成立，也正出于此，我们才将拆成了!作者简介：陈定昌，男，1958年1月出