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文档简介

二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 难点 如何求特解 方法 待定系数法 f x 常见类型 下面我们讨论特解会具有什么样的表达式 由于指数函数与多项式之积的导数仍是同类型的函数 而方程的右端正好是这种形式的函数 因此我们可以推断出方程 1 的特解应该也是指数函数与多项式之积 故设 接着我们可以推导出Q x 应该是几次多项式 将 代入原方程 1 中 整理得 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 k是重根次数 3 由非齐次方程解的结构定理知其通解为 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程 得 为原方程通解 例1 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 例2 为原方程通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 例3 为原方程通解 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 3 由非齐次方程解的结构定理知其通解为 解 对应齐次方程的通解 例4 所求非齐方程特解为 原方程通解为 解 对应齐方通解 代入原方程 例5 所求非齐方程特解为 原方程通解为 由解的叠加原理知 练习 因此 原方程的通解为 定理5 5 1 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例6 所求非齐次方程特解为 原方程通解为 取实部 注意 解 对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例7 三 小结 待定系数法 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式 思考题解答 设的
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