武汉大学数学与统计学院重修试题答案2006-2007学年第二学期《线性代数B》(工54).pdf

第四届经济与管理学院团支书联席会复习宝典 团支书联席会秘书长陈心一 副秘书长陈若曦 雷柯 厉洋军 张文昭呕血整理 武汉大学数学与统计学院重修试题答案 2006 2007 学年第二学期 线性代数 B 工 54 一 解 1121011210 2242003001 3061100040 0300100000 3即向量组的秩为 124 一个极大无关组为此向量组线性相关 二 解 111 a Ab c 则 2007 2007 111111111 A aaa Abbb ccc 个个 2006 111111111 a b c aaa bbb ccc 个个相相乘乘 20062006 aaa abcbbb ccc 三 1 解 1 由 2 I AAB 得 A ABI 而A10 因此矩阵A可逆 且 1 112 A011 001 所以由 A ABI 得 1 021 BAA000 000 2 由 22 422 2 2 ABBAABABAB 且 2 AB 241 022 002 2 AB 203 022 002 可得 22 422CABBAAB 484 040 004 1 C 121 1 010 4 001 3 4C 则 1 121 16 010 001 CC C 四 解 经计算系数行列式得 2 1 2 A 于是由克莱姆法则有如下结论 1 当1 且2 时 3 r Ar B 方程组有唯一解 2 当1 时 1r A 2r B 该情形方程组无解 第四届经济与管理学院团支书联席会复习宝典 团支书联席会秘书长陈心一 副秘书长陈若曦 雷柯 厉洋军 张文昭呕血整理 3 当2 时 2 r Ar B 此时方程组有无限多个解 而 211021101011 121312130112 112300000000 B 由此得 13 23 33 1 2 xx xx xx 即 1 2 3 11 12 10 x xc x cR 五 解 1 011 101 110 A 2 由 1 2 0 f 得 123 1 2 对 12 1 解线性方程组 1 2123 3 11 110 11 x xoxxx x 1 1 1 1 1 1 基础解系为 12 1 0 1 1 1 0 其全部特征向量为 1 12212 kkk k 不全为零 对 3 2 解线性方程组 1 2 3 211 121 112 x xo x 123 123 20 20 xxx xxx 得基础解系为 3 1 1 1 其全部特征向量为 333 0 kk 3 正交规范化得 12 1 0 1 1 2 1 1111 2626 3 1 1 1 1 1 3 3 则所 求正交变换阵0P 1 111 11 263263 2 1 2 1 6363 11 111 1 263263 变换之下的标准形为 222 123 2fyyy 4 由正交变换保持向量的长度不变 则1XY 并注意到 2 3 01y 则 22222222 12312333 2313fyyyyyyyy 且有 2 3 2131y 即f的最大值为 1 最小值为2 比如令 0 0 1 Y 有m i n2 f 令 1 0 0 Y 有max1f 第四届经济与管理学院团支书联席会复习宝典 团支书联席会秘书长陈心一 副秘书长陈若曦 雷柯 厉洋军 张文昭呕血整理 六 解 1 1 33 2 323 22 3387 1 3 2233 1521 11 2233 BB 2 CB 且 7 5 3 2 2 2 T 七 解 2 01 111 0 AI x 22 1 x 得 1 1 2 x 3 3 1 当0 x 且1x 时 A有 3 个相异特征值 则A有 3 个线性无关的特征向量 此时A一定可以对角化 2 如果1x 则 2323 1 1 1 1 注意到 1 2 2 1 1时 由 AI 101101 101000 101000 1r AI 则由 1 2 3 101 1010 101 x x x 恰给出A的两个线性无关的特征向量 而当1 3 3 时 由 AI 101101 121121 101000 2r AI 则由 1 2 3 101 1210 000 x x x 恰给出A的一个特征向量 再由上题知 此种情形下 A的三个特征向量线性无关 即A也可以对角化 3 如果0 x 则 2 2 3 3 0 0 1 1 注意到 2 3 0 0时 由 1 2 3 001 1110 000 x x x 及 2r A 知 即A恰