函数及其图象中招总复习.doc

扬 中 市 第 一 中 学 中 招 备 课 材 料函数及其图象中招总复习一、知识点：平面坐标系、常量、变量、函数及其表示方法、正比例函数及其图象、反比例函数及其图象、一次函数、一次函数的图象及性质、二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向。二、大纲要求：1、 了解平面内的点与有序实数对之间一一对应。2、了解常量、变量、函数的意义，函数的三种表示方法，会用描点法画出函数的图象。3、理解平面直角坐标系的有关概念、会正确画出直角坐标系；平面内的点的坐标的意义，会根据坐标确定点和由点求得坐标。4、理解自变量的取值范围和函数值的意义，对解析式只含一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。5、理解正比例函数、反比例函数的概念，能根据问题中的条件确定正比例函数和反比例函数的解析式。6、理解正比例函数、反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增大或减小而变化的情况。7、理解待定系数法。8、理解一次函数的概念，能根据实际问题中的条件，确定一次函数的解析式。9、理解一次函数的性质，会画出它们的图象。10、理解二次函数和抛物线的概念，会用描点法画出函数的图象，会用公式（配方法）确定抛物线的顶点和对称轴。11、掌握会用待定系数法求正、反比例函数的解析式及一次函数的解析式。12、掌握会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。13、掌握会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。三、课时安排：8第一课时 坐标系与函数一、归纳结构： 1、平面直角坐标系： 平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应，反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应。 2、各象限内点的坐标的特征： （1）如图，各象限点的符号情况。 （2）对称点的规律：设P1（x1, y1）, P2（x2, y2）， P1、P2关于x轴对称x1=x2且y1=-y2； P1、P2关于y轴对称x1=-x2且y1=y2； P1、P2关于原点对称x1=-x2且y1=-y2. 也可简单总结为：关于谁轴对称谁不变，关于原点对称都要变（3）平行于坐标轴直线上两点的坐标： 直线P1P2平行于x轴x1x2且y2=y1； 直线P1P2平行于y轴x1=x2且y2y1. 3、象限角平分线上点的坐标 设P（x, y） 若P点在第一、三象限角平分线上x=y， 若P点在第二、四象限角平分线上x=-y. 4、距离 （1）若P（x, y）(xy0)，则P点到原点距离为。 （2）若P（x, y）(xy0)，则P点到x轴距离为|y|。 则P点到y轴距离为|x|. 5、函数的有关概念： 一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 对于函数的意义，应从以下几个方面去理解： （1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。 （2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。 6、求函数自变量的取值范围 求函数自变量的取值范围的原则是： （1）解析式是整式，自变量可以取一切实数。 （2）解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零。 （3）解析式是无理式，如果是二次根式，自变量的取值范围应使被开方式的值大于或等于零，如果是三次根式，自变量可以取一切实数。 （4）如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值范围同时满足它们各自的条件。（5）如果解析式是幂的形式且指数为0或负指数，自变量的取值范围应使底数不为0。7、函数值 与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。8、求实际问题函数的解析式先找等量关系，再设法表示，最后写为函数形式9、函数的图象 在直角坐标系内用描点法可以画出函数的图象,一般步骤为列表、描点、连线，函数图象实现了数与形的相互转化。 二、考点热点1、各象限及坐标轴上点的坐标的特征2、对称点的坐标3、函数自变量的取值范围4、求实际问题的函数解析式三、典例示范： 例1：已知点M（3a-8, a-1），分别根据下列条件求出M点坐标。 （1）点M在y轴上； （2）点M在第二、四象限角的平分线上； （3）点M在第二象限，并且a为整数； （4）N点坐标（3，-6），并且直线MN/x轴。 说明：（1）第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数。 （2）与x轴平行的直线上各点的纵坐标都相等；与y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。 例2，已知A（m-2, -3）和B（-6, 1-n）两点，分别求出当A、B满足下列条件时，m、n的值。 （1）关于x轴对称； （2）关于y轴对称； （3）关于原点对称。 说明：此题考察有关对称点坐标的概念，要分清关于x轴对称，y轴对称，关于原点对称的两个点坐标的特点。 例3、如图，直角梯形OABC中，OA/BC，AOC=90，OAB=60，OA=10，梯形面积为32，求点A、B、C的坐标。 说明：点在直角坐标系中的位置实际上含有两个方面：一是点在直角坐标系中所位于的象限（或位于x轴、y轴上），即位置在某一指定的范围（简称定域）；二是点到两坐标轴的距离（简称定量），点的坐标也会有两个方面：一是点的横、纵坐标的性质符号；二是点的横纵坐标的绝对值，显然点的“定域”决定于点的横、纵坐标的性质符号；点的“定量”决定于点的横、纵坐标的绝对值，所以若点的位置唯一确定（即定域又定量），则它的坐标也唯一确定；若点的位置只定域，没定量，则它的横、纵坐标有了一定的取值范围，可利用它构造方程或不等式；若点的位置只定量，未定域，则它的坐标的绝对值确定，而横、纵坐标的性质符号不能确定，应分类讨论。 此例中点既定域又定量，此类题一般确定点的坐标分为两步：一是确定此点到轴的距离，垂足到原点的距离，即确定此点横、纵坐标的绝对值（由定量确定点坐标的绝对值）；二是由此点的位置确定此点的横、纵坐标的符号（由定域确定点的横、纵坐标的符号）。 若此题不给出此种图形，只要求OA在x轴上，OC在y轴上，那么点A、B、C的坐标分别是什么呢？请想一想。例4、求下列函数中自变量x的取值范围。 (1) y=- (2) y= (3) y=(x2-3)0 (4) y=+ (5) y= 说明：此题可按照“求函数自变量的取值范围的原则”来考虑。 例5、已知如图：正方形ABCD中，E是BC边上的点，F是CD边上的点，且AE=AF，AB=4，设AEF的面积为y，EC为x，求y与x之间的函数关系式，并画出这个函数的图象。 解：四边形ABCD是正方形， AB=AD，B=D=900， 又AE=AF， ABEADF， BE=DF， BC=CD， EC=FC=x, BE=DF=4-x, SAEF=AB2-2SABE-SECF =42-24(4-x)- x2 y=-x2+4x 点E在BC边上，且为E与C重合时，AEF不存在， x的取值范围是0x4。说明：此例结合图形由正方形，三角形面积公式不难求出y和x之间的函数关系式，问题容易出在画函数图象上，因为此例是一个与几何有关的函数，自变量取值应保证几何图形的存在（保证AEF存在），点E在BC上运动，点E能与点B重合，不能与点C重合，所以0EC的长4即 00时，y随x增大而增大，k0 k0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0. 当k0时，在一、三象限； 当k0时，在一、三象限； 当k0时，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而减小； 当k0，双曲线两分支分别在第一、三象限。 k0，则这个函数的图象一定经过第_象限 .例4.、（2004年呼和浩特市中考题）若反比例函数经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象不经过第_象限.例5、（宜昌市）函数y kx 1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A、OxyB、OxyC、OxyD、Oxy四、总结通法一次函数y=kx+b的k决定方向，b决定与y轴的交点的位置;判断增减或所过的象限可用一句话总结：k0过一三,k0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a0时，当（）a0时，当特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。 8抛物线与x轴的位置关系： （）=b2-4ac0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）9、抛物线的平移可以看作是顶点的平移，而抛物线通过平移后的二次项系数不变，于是平移后的抛物线的解析式可以写出来. 即上加下减，左加右减。4、二次函数的画法至少要取三个点，中间的点为顶点即可。二、考点热点1、二次函数的定义2、二次函数的顶点坐标和对称轴的求法3、二次函数与坐标轴交点的坐标及个数4、二次函数一般式系数的符号的判定5、二次函数的最值、增减性、平移三、典例示范 例1、(1) 若是二次函数，求m的值。 (2)已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。例2、已知抛物线y=2x-3x+5，求：1、 用配方法求对称轴和顶点坐标2、 用公式法求对称轴和顶点坐标3、 求此函数与x轴、y轴的交点坐标4、 为何值时，此函数有最小值？最小值是多少？例3、函数y=ax2（a0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求 （1）a和b的值； （2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随着x的增大而增大； （4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。例4、（岳阳市）已知一次函数yaxc与二次函数yax2bxc（a0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）xOyA、xOyB、xOyC、xOyD、四、总结通法 本节主要以二次函数的概念，研究了简单的二次函数的图象和性质。事实上，二次函数y=ax2+bx+c的图象都是抛物线，把抛物线y=ax2向左（右）、上（下）平行移动就可得到一般二次函数，规律为上加下减，左加右减；求二次函数的对称轴和顶点坐标要会配方法或运用公式。第四课时 用待定系数法确定函数解析式一、归纳结构1、确定函数解析式的种类：y=kx+b, y=, y=ax2+bx+c2、确定函数解析式的步骤和方法：设、列、解、写。二、考点热点1、已知两点确定一条直线2、用一般式、顶点式确定抛物线3、已知一点确定双曲线4、根据图象信息确定解析式三、典例示范1、（2004年广东省中考题）已知一次函数y=kx+b,当x=-4时y的值为9,当x=2时y的值为-3，求这个函数的解析式。2、（2004年河南省中考题）一直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，若AOB的周长为（O为坐标原点），求这条直线的解析式。3、已知一个二次函数的图象经过点（-1，0），（3，0），且顶点的纵坐标为-3，求：（1）求这个二次函数的解析式（2）写出它的对称轴和顶点坐标4、已知双曲线和直线y=kx+2相交于点（x1,y1）和点（x2,y2），且，求此直线的解析式。四、总结通法1、看解析式中有几个待定系数，就必须找相应的几个点或几对值组成方程组求出即可。2、求解过程按设列解写步骤进行。3、若为二次函数知道顶点设顶点式，其他设一般式。五、变式训练1、（舟山市）如果反比例函数y的图像经过点(2，3)，那么k的值为_.2、（广东省）如图，某个反比例函数的图像经过点P则它的解析式为_。3. （山东省） 若A（a，6），B（2，a），C（0，2）三点在同一条直线上，则a的值为（ ）A、4或2 B、4或1 C、4或1 D、4或24. （天津市）已知抛物线yax2bxc的对称轴为x2，且经过点（1, 4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为.6（温州市）如图，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的图象的顶点坐标是 7.（舟山市）如图，直线yx2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，ABBC，且点C在x轴上.若抛物线yax2bxc以C点为顶点且经过点B，则这抛物线的解析式为 . xABCy第五课时 图像信息问题一、归纳结构一次函数、二次函数及反比例函数等知识是解决这类问题的基础。1、正、反比例函数y=kx和y=（）中k的符号决定图像的位置。2、一次函数y=kx+b（）的系数k,b的符号决定其图像位置。 3、二次函数y=x2 +bx+c（a）的系数a,b,c的符号决定其图像位置。（1）、a的符号决定开口方向，大小决定开口大小; （2）、c的符号决定抛物线与y轴交点的位置; （3）、a,b的符号决定对称轴的位置。 二、考点热点 本节内容常以选择解答题的形式出现在中高档题。三、典例示范例1：（2004年安徽省中考题）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图像与故事情节相吻合的是（ ）。例2： （2003年南通市中考题）已知反比例函数y的图象如下面左图所示，则二次函数y的图象大致为（ ）xyOxyOxyOxyOxyOA、B、C、D、反比例函数图象例3：86（2003年荔湾区中考题）如右图，直角三角形AOB中，ABOB于B，且x tOBAyxAB OB 3，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与的函数关系的图象大致为（ ）D、C、B、A、3333tsOtsOtsOOst例4：（2004年中考题）如图，l1、l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数图像。假设两种灯的寿命都是2000h,照明效果一样。（1）根据图像分别求出l1、l2的函数关系式；（2）计算当照明时间为多少时，两种灯的费用相等；（3）小亮房间计划照明时间2500h,他买了一个白炽灯和一种节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法。（直接写出答案，不必写解答过程）四、总结通法同一坐标系中出现多个函数图像时，其交点坐标就是多个函数所构成的方程组的解，先用待定系数法求出函数的解析式，再通过解方程组求得交点坐标，具有普遍性。第六课时 函数应用题一、归纳结构应用函数知识解决实际问题时，要注意两点：1、善于将实际问题化为数学问题，再转化为函数问题。2、注意自变量的取值范围，不仅保证函数式，还要保证符合实际意义。二、考点热点1、经济类的函数应用题。2、其他的函数应用题。三、典例示范1、例1、（2004年四川省中考题）某零件制造车间有工人20名。已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20个工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式。（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？2、（2004年河南省中考题）某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系，请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？四、总结通法1、函数型应用题的解法可以按照应用题的分析思路：先找等量关系，再表示成函数关系，最后按照题目要求去做即可。五、变式训练1、（2004年杭州市中考题）某航运公司年初用120万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年运输的总收入为72万元，需要支出的各种费用为40万元。(1)问该船几年后开始盈利（盈利即指总收入减去购船费及所有支持费用之差为正值）？(2)若该船运输满15年要报废，报废时旧船卖出可收回20万元，求这15年的平均盈利额（精确到0.1万元）。2、（2004年吉林省中考题）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距，某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距的d一次函数，下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d(cm)20212223身高h(cm)160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。 （2）某人身高196 cm，一般情况下他的指距应是多少？3、（2004年吉林省中考题）某企业投资100万元引进一条家电产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx，若第一年的维修、保养费用为2万元，第二年的我i4万元。（1）求y与x的函数解析式。（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？第七课时 与三角形、四边形面积有关的函数综合题一、归纳结构1、确定三角形或梯形的底和高。（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。（2）以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。（3）三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。2、不规则图形的面积通常转化为边在坐标轴上的三角形或梯形的面积来解决；二、考点热点1、与三角形面积有关的函数综合题； 2、与四边形面积有关的函数综合题；三、典例示范