高数上34凹向、拐点、作.ppt

如果我们接受某条信息时 和我们头脑中已有的信息有密切的联系 就好像往仓库中放东西时作了许多的标记 寻找时就比较容易 可见 有效地提取信息 是记忆的核心 而有效提取的关键 是接收信息时 做好标记 1 凹凸性的定义 中点的函数值小于函数值的中值 中点的函数值大于函数值的中值 3 4曲线的凹向与拐点 函数作图 一曲线的凹向与拐点 就是说 若在某一区间内 函数图像总在曲线上任一点切线的上方 则称曲线在这区间是凹的 直观观察 在有些教材中 凹的 曲线 又叫 上凹 凸的又叫 下凹 连续曲线上 不同凹向曲线段的分界点 称为曲线的拐点 注意 拐点是曲线上的点 应由两个坐标表示 x0 f x0 前面讲过的极值点 是取得极值时自变量的值 记为x xi 两者不同 P106定理3 8函数y f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间内二阶可导 则当f x 0时 曲线上凹 凹 f x 0时 曲线下凹 凸 2 曲线凹向的判定 仍可用 雨水法则 帮助记忆 证明从略 但应注意 1 定理条件中的 在开区间内二阶可导 对有限个点 可以允许二阶导数为零或不存在 但一阶导数必须存在 2 定理中的区间 可以是任何形式的区间 补例1 补例2 解 解 3 判定函数凹向的步骤 1 确定函数y f x 的定义域 2 求f x 找出使f x 0和f x 不存在的点xi 3 用xi把定义域划分成为小区间 在每个小区间上判定曲线的凹向 4 拐点的判定 必要条件 若函数f x 在点x0二阶可导 且点 x0 f x0 是曲线的拐点 则f x0 0 充分条件 补例3 曲线是凸的 曲线是凹的 解 补例4 在区间 0 内曲线是凹的 在区间 0 上曲线是凸的 解 在区间 内曲线是凹的 补例5 因此 0 0 不是这曲线的拐点 补例6 解 解 另外 函数没有其他二阶导数为零或二阶导数不存在的点 本例说明 二阶导数不存在的点也有可能是拐点 5 曲线的渐近线 补课本 1 6 1 水平渐近线 2 垂直渐近线 3 斜渐近线 补充 不作要求 显然 一般先确定a 二函数作图 利用导数工具描绘函数的图形 称为分析法作图 1 分析法作图的步骤 1 确定函数的定义域 考察函数的奇偶性 周期性 2 求函数的一阶 二阶导数 找出f x 0和f x 不存在的点xi找出f x 0和f x 不存在的点xk 3 用xi xk和函数的间断点把函数的定义域划分成若干个小区间 4 确定函数的单调性 极值点 凹向和拐点 列成表格 5 讨论函数的渐近线 添加必要的辅助点 6 完成作图 4 第四行曲线y f x 用适当凹向的曲线箭头 表明函数在相应区间的大体形态 注意 箭头方向是 箭尾在左 箭头在右 2 关于函数形态表的说明 如下表 1 第一行x 由左至右按照从小到大列出小区间和它们的分界点 3 第三行y 在相应的区间判断正 负 在分界点写出相应的导数值 2 第二行y 在相应的区间判断正 负 在分界点写出相应的导数值 解 补例1 3 应用举例 得到函数图形上三个点 辅助点 所以该曲线既无水平渐近线 也无铅直渐近线 补例2 解 得到曲线上的两个点 加辅助点 注 本例特点 1 利用函数的奇