高数第十二章_1基本概念.ppt

微分方程 第十二章 积分问题 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动目录上页下页返回结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章 引例1 一曲线通过点 1 2 在该曲线上任意点处的 解 设所求曲线方程为y y x 则有如下关系式 C为任意常数 由 得C 1 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为2x 求该曲线的方程 机动目录上页下页返回结束 引例2 列车在平直路上以 的速度行驶 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律 解 设列车在制动后t秒行驶了s米 已知 由前一式两次积分 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 以及制动后行驶了多少路程 即求s s t 机动目录上页下页返回结束 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 本章内容 n阶显式微分方程 微分方程的基本概念 一般地 n阶常微分方程的形式是 的阶 分类 或 机动目录上页下页返回结束 使方程成为恒等式的函数 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件 或初值条件 的阶数相同 特解 通解 特解 微分方程的解 不含任意常数的解 定解条件 其图形称为积分曲线 机动目录上页下页返回结束 例1 验证函数 是微分方程 的解 的特解 解 这说明 是方程的解 是两个独立的任意常数 利用初始条件易得 故所求特解为 故它是方程的通解 并求满足初始条件 机动目录上页下页返回结束 求所满足的微分方程 例2 已知曲线上点P x y 处的法线与x轴交点为Q 解 如图所示 令Y 0 得Q点的横坐标 即 点P x y 处的法线方程为 且线段PQ被y轴平分 第二节目录上页下页返回结束 转化 可分离变量微分方程 机动目录上页下页返回结束 第二节 解分离变量方程 可分离变量方程 第十二章 分离变量方程的解法 设y x 是方程 的解 两边积分 得 则有恒等式 当G y 与F x 可微且G y g y 0时 说明由 确定的隐函数y x 是 的解 则有 称 为方程 的隐式通解 或通积分 同样 当F x f x 0时 上述过程可逆 由 确定的隐函数x y 也是 的解 机动目录上页下页返回结束 例1 求微分方程 的通解 解 分离变量得 两边积分 得 即 C为任意常数 或 说明 在求解过程中每一步不一定是同解变形 因此可能增 减解 此式含分离变量时丢失的解y 0 机动目录上页下页返回结束 例2 解初值问题 解 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得C 1 C为任意常数 故所求特解为 机动目录上页下页返回结束 例3 求下述微分方程的通解 解 令 则 故有 即 解得 C为任意常数 所求通解 机动目录上页下页返回结束 练习 解法1分离变量 即 C 0 解法2 故有 积分 C为任意常数 所求通解 机动目录上页下页返回结束 例4 子的含量M成正比 求在 衰变过程中铀含量M t 随时间t的变化规律 解 根据题意 有 初始条件 对方程分离变量 即 利用初始条件 得 故所求铀的变化规律为 然后积分 已知t 0时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动目录上页下页返回结束 例5 成正比 求 解 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量 然后积分 得 利用初始条件 得 代入上式后化简 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时 t 0 速度为0 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系 t足够大时 机动目录上页下页返回结束 例6 有高1m的半球形容器 水从它的底部小孔流出 开始时容器内盛满了水 从小孔流出过程中 容器里水面的高度h随时间t的变 解 由水力学知 水从孔口流出的流量为 即 求水 小孔横截面积 化规律 设在 内水面高度由h降到 机动目录上页下页返回结束 对应下降体积 因此得微分方程定解问题 将方程分离变量 机动目录上页下页返回结束 两端积分 得 利用初始条件 得 因此容器内水面高度h与时间t有下列关系 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 微分方程的概念 微分方程 定解条件 2 可分离变量方程的求解方法 说明 通解不一定是方程的全部解 有解 后者是通解 但不包含前一个解 例如 方程 分离变量后积分 根据定解条件定常数 解 阶 通解 特解 y x及y C 机动目录上页下页返回结束 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程 常用的方法 1 根据几何关系列方程 如 P263 5 2 2 根据物理规律列方程 如 例4 例5 3 根据微量分析平衡关系列方程 如 例6 2 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件 3 求通解 并根据定解条件确定特解 3 解微分方程应用题的方法和步骤 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 求下列方程的通解 提示 1 分离变量 2 方程变形为 机动目录上页下页返回结束 备用题已知曲线积分 与路径无关 其中 求由 确定的隐函数 解 因积分与路径无关 故有 即 因此有 机动目录上页下页返回结束 齐次方程 机动目录上页下页返回结束 第三节 一 齐次方程 二 可化为齐次方程 第十二章 一 齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 令 代入原方程得 两边积分 得 积分后再用 代替u 便得原方程的通解 解法 分离变量 机动目录上页下页返回结束 例1 解微分方程 解 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 当C 0时 y 0也是方程的解 C为任意常数 机动目录上页下页返回结束 例2 解微分方程 解 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 说明 显然x 0 y 0 y x也是原方程的解 但在 C为任意常数 求解过程中丢失了 机动目录上页下页返回结束 可得 OMA OAM 例3 在制造探照灯反射镜面时 解 设光源在坐标原点 则反射镜面由曲线 绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M x y 作切线MT 由光的反射定律 入射角 反射角 取x轴平行于光线反射方向 从而AO OM 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 试求反射镜面的形状 而AO 于是得微分方程 机动目录上页下页返回结束 利用曲线的对称性 不妨设y 0 积分得 故有 得 抛物线 故反射镜面为旋转抛物面 于是方程化为 齐次方程 机动目录上页下页返回结束 顶到底的距离为h 说明 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为d 代入通解表达式得 机动目录上页下页返回结束 h k为待 二 可化为齐次方程的方程 作变换 原方程化为 令 解出h k 齐次方程 定常数 机动目录上页下页返回结束 求出其解后 即得原方 程的解 原方程可化为 令 可分离变量方程 注 上述方法可适用于下述更一般的方程 机动目录上页下页返回结束 例4 求解 解 令 得 再令Y Xu 得 令 积分得 代回原变量 得原方程的通解 机动目录上页下页返回结束 得C 1 故所求特解为 思考 若方程改为 如何求解 提示 第四节目录上页下页返回结束 一阶线性微分方程 机动目录上页下页返回结束 第四节 一 一阶线性微分方程 二 伯努利方程 第十二章 一 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式 若Q x 0 称为非齐次方程 1 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 机动目录上页下页返回结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2 解非齐次方程 用常数变易法 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动目录上页下页返回结束 例1 解方程 解 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 例2 求方程 的通解 解 注意x y同号 由一阶线性方程通解公式 得 故方程可 变形为 所求通解为 机动目录上页下页返回结束 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 例3 有一电路如图所示 电阻R和电 解 列方程 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为 因此有 即 初始条件 由回路电压定律 其中电源 求电流 感L都是常量 机动目录上页下页返回结束 解方程 由初始条件 得 利用一阶线性方程解的公式可得 机动目录上页下页返回结束 因此所求电流函数为 解的意义 机动目录上页下页返回结束 二 伯努利 Bernoulli 方程 伯努利方程的标准形式 令 求出此方程通解后 除方程两边 得 换回原变量即得伯努利方程的通解 解法 线性方程 伯努利目录上页下页返回结束 例4 求方程 的通解 解 令 则方程变形为 其通解为 将 代入 得原方程通解 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 一阶线性方程 方法1先解齐次方程 再用常数变易法 方法2用通解公式 化为线性方程求解 2 伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 判别下列方程类型 提示 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 机动目录上页下页返回结束 备用题 1 求一连续可导函数 使其满足下列方程 提示 令 则有 利用公式可求出 机动目录上页下页返回结束 2 设有微分方程 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解 解 1 先解定解问题 利用通解公式 得 利用 得 故有 机动目录上页下页返回结束 2 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3 原问题的解为 机动目录上页下页返回结束 雅各布第一 伯努利 书中给出的伯努利数在很多地方有用 伯努利 1654 1705 瑞士数学家 位数学家 标和极坐标下的曲率半径公式 1695年 版了他的巨著 猜度术 上的一件大事 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外 他对 双纽线 悬链线和对数螺线都有深入的研究 全微分方程 机动目录上页下页返回结束 第五节 一 全微分方程 二 积分因子法 第十二章 判别 P Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数 为全微分方程 则 求解步骤 方法1凑微分法 方法2利用积分与路径无关的条件 1 求原函数u x y 2 由du 0知通解为u x y C 一 全微分方程 则称 为全微分方程 又叫做恰当方程 机动目录上页下页返回结束 例1 求解 解 因为 故这是全微分方程 则有 因此方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 例2 求解 解 这是一个全微分方程 用凑微分法求通解 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 机动目录上页下页返回结束 二 积分因子法 思考 如何解方程 这不是一个全微分方程 就化成例2的方程 使 为全微分方程 在简单情况下 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子 例2目录上页下页返回结束 常用微分倒推公式 积分因子不一定唯一 例如 对 可取 机动目录上页下页返回结束 例3 求解 解 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 得 即 因此通解为 即 因x 0也是方程的解 故C为任意常数 机动目录上页下页返回结束 备用题解方程 解法1积分因子法 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外 y 0也是方程的解 机动目录上页下页返回结束 解法2化为齐次方程 原方程变形为 积分得 将 代入 得通解 此外 y 0也是方程的解 机动目录上页下页返回结束 解法3化为线性方程 原方程变形为 其通解为 即 此外 y 0也是方程的解 机动目录上页下页返回结束 可降阶高阶微分方程 机动目录上页下页返回结束 第六节 一 型的微分方程 二 型的微分方程 三 型的微分方程 第十二章 一 令 因此 即 同理可得 依次通过n次积分 可得含n个任意常数的通解 型的微分方程 机动目录上页下页返回结束 例1 解 机动目录上页下页返回结束 例2 质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动 在开始时刻 随着时间的增大 此力F均匀地减 直到t T时F T 0 如果开始时质点在原点 解 据题意有 t 0时 设力F仅是时间t的函数 F F t 小 求质点的运动规律 初初速度为0 且 对方程两边积分 得 机动目录上页下页返回结束 利用初始条件 于是 两边再积分得 再利用 故所求质点运动规律为 机动目录上页下页返回结束 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分 得原方程的通解 二 机动目录上页下页返回结束 例3 求解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动目录上页下页返回结束 例4 绳索仅受 重力作用而下垂 解 取坐标系如图 考察最低点A到 密度 s 弧长 弧段重力大小 按静力平衡条件 有 故有 设有一均匀 柔软的绳索 两端固定 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 任意点M x y 弧段的受力情况 两式相除得 机动目录上页下页返回结束 则得定解问题 原方程化为 两端积分得 则有 两端积分得 故所求绳索的形状为 悬链线 机动目录上页下页返回结束 三 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分 得原方程的通解 机动目录上页下页返回结束 例5 求解 代入方程得 两端积分得 一阶线性齐次方程 故所求通解为 解 机动目录上页下页返回结束 M 地球质量m 物体质量 例6 静止开始落向地面 求它落到地面时的速度和所需时间 不计空气阻力 解 如图所示选取坐标系 则有定解问题 代入方程得 积分得 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由 机动目录上页下页返回结束 两端积分得 因此有 注意 号 机动目录上页下页返回结束 由于y R时 由原方程可得 因此落到地面 y R 时的速度和所需时间分别为 机动目录上页下页返回结束 说明 若此例改为如图所示的坐标系 解方程可得 问 此时开方根号前应取什么符号 说明道理 则定解问题为 机动目录上页下页返回结束 例7 解初值问题 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件 根据 积分得 故所求特解为 得 机动目录上页下页返回结束 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与x轴围成的三角形面 例8 二阶可导 且 上任一点P x y 作该曲线的 切线及x轴的垂线 区间 0 x 上以 解 于是 在点P x y 处的切线倾角为 满足的方程 积记为 99考研 机动目录上页下页返回结束 再利用y 0 1得 利用 得 两边对x求导 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 内容小结 可降阶微分方程的解法 降阶法 逐次积分 令 令 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 方程 如何代换求解 答 令 或 一般说 用前者方便些 均可 有时用后者方便 例如 2 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 答 1 一般情况 边解边定常数计算简便 2 遇到开平方时 要根据题意确定正负号 机动目录上页下页返回结束 速度 大小为2v 方向指向A 提示 设t时刻B位于 x y 如图所示 则有 去分母后两边对x求导 得 又由于 设物体A从点 0 1 出发 以大小为常数v 备用题 的速度沿y轴正向运动 物体B从 1 0 出发 试建立物体B的运动轨迹应满 足的微分方程及初始条件 机动目录上页下页返回结束 代入 式得所求微分方程 其初始条件为 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二 线性齐次方程解的结构 三 线性非齐次方程解的结构 四 常数变易法 一 二阶线性微分方程举例 第十二章 一 二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时 物体处于平衡状态 例1 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 力作用下作往复运动 解 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点 建立坐标系如图 设时刻t物位移为x t 1 自由振动情况 弹性恢复力 物体所受的力有 虎克定律 成正比 方向相反 建立位移满足的微分方程 机动目录上页下页返回结束 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程 阻力 2 强迫振动情况 若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程 机动目录上页下页返回结束 求电容器两两极板间电压 例2 联组成的电路 其中R L C为常数 所满足的微分方程 提示 设电路中电流为i t 上的电量为q t 自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律 设有一个电阻R 自感L 电容C和电源E串 极板 机动目录上页下页返回结束 在闭合回路中 所有支路上的电压降为0 串联电路的振荡方程 如果电容器充电后撤去电源 E 0 则得 机动目录上页下页返回结束 化为关于 的方程 故有 n阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性 为二阶线性微分方程 例1 例2 可归结为同一形式 时 称为非齐次方程 时 称为齐次方程 复习 一阶线性方程 通解 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 机动目录上页下页返回结束 证毕 二 线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解 也是该方程的解 证 代入方程左边 得 叠加原理 定理1 机动目录上页下页返回结束 说明 不一定是所给二阶方程的通解 例如 是某二阶齐次方程的解 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念 机动目录上页下页返回结束 定义 是定义在区间I上的 n个函数 使得 则称这n个函数在I上线性相关 否则称为线性无关 例如 在 上都有 故它们在任何区间I上都线性相关 又如 若在某区间I上 则根据二次多项式至多只有两个零点 必需全为0 可见 在任何区间I上都线性无关 若存在不全为0的常数 机动目录上页下页返回结束 两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 常数 思考 中有一个恒为0 则 必线性 相关 证明略 线性无关 机动目录上页下页返回结束 定理2 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 则 数 是该方程的通解 例如 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 自证 推论 是n阶齐次方程 的n个线性无关解 则方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 三 线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解 Y x 是相应齐次方程的通解 定理3 则 是非齐次方程的通解 证 将 代入方程 左端 得 复习目录上页下页返回结束 是非齐次方程的解 又Y中含有 两个独立任意常数 例如 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 也是通解 机动目录上页下页返回结束 定理4 分别是方程 的特解 是方程 的特解 非齐次方程之解的叠加原理 定理3 定理4均可推广到n阶线性非齐次方程 机动目录上页下页返回结束 定理5 是对应齐次方程的n个线性 无关特解 给定n阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 机动目录上页下页返回结束 常数 则该方程的通解是 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解 是任意 例3 提示 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 89考研 机动目录上页下页返回结束 例4 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 解 是对应齐次方程的解 且 常数 因而线性无关 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 机动目录上页下页返回结束 四 常数变易法 复习 常数变易法 对应齐次方程的通解 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形1 已知对应齐次方程通解 设 的解为 由于有两个待定函数 所以要建立两个方程 机动目录上页下页返回结束 令 于是 将以上结果代入方程 得 故 的系数行列式 P10目录上页下页返回结束 积分得 代入 即得非齐次方程的通解 于是得 说明 将 的解设为 只有一个必须满足的条件即方程 因此必需再附加一 个条件 方程 的引入是为了简化计算 机动目录上页下页返回结束 情形2 仅知 的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得 设其通解为 积分得 一阶线性方程 由此得原方程 的通解 代入 目录上页下页返回结束 例5 的通解为 的通解 解 将所给方程化为 已知齐次方程 求 利用 建立方程组 积分得 故所求通解为 目录上页下页返回结束 例6 的通解 解 对应齐次方程为 由观察可知它有特解 令 代入非齐次方程后化简得 此题不需再作变换 特征根 设 的特解为 于是得 的通解 故原方程通解为 二阶常系数非齐次方程 代入 可得 机动目录上页下页返回结束 常系数 机动目录上页下页返回结束 第八节 齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 代数方程 之根 转化 第十二章 二阶常系数齐次线性微分方程 和它的导数只差常数因子 代入 得 称 为微分方程 的特征方程 1 当 时 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解 因此方程的通解为 r为待定常数 所以令 的解为 则微分 其根称为特征根 机动目录上页下页返回结束 2 当 时 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 u x 待定 代入方程得 是特征方程的重根 取u x 则得 因此原方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 3 当 时 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解 利用解的叠加原理 得原方程的线性无关特解 因此原方程的通解为 机动目录上页下页返回结束 小结 特征方程 实根 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 机动目录上页下页返回结束 若特征方程含k重复根 若特征方程含k重实根r 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程 推广 机动目录上页下页返回结束 例1 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程的通解为 例2 求解初值问题 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 机动目录上页下页返回结束 例3 解 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 在无外力作用下做自由运动 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图 设t 0时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 因此定解问题为 自由振动方程 机动目录上页下页返回结束 方程 特征方程 特征根 利用初始条件得 故所求特解 方程通解 1 无阻尼自由振动情况 n 0 机动目录上页下页返回结束 解的特征 简谐振动 A 振幅 初相 周期 固有频率 机动目录上页下页返回结束 仅由系统特性确定 方程 特征方程 特征根 小阻尼 n k 这时需分如下三种情况进行讨论 2 有阻尼自由振动情况 大阻尼 n k 临界阻尼 n k 解的特征 解的特征 解的特征 机动目录上页下页返回结束 n k 小阻尼自由振动解的特征 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期 振幅 衰减很快 随时间t的增大物体趋于平衡位置 机动目录上页下页返回结束 n k 大阻尼解的特征 1 无振荡现象 此图参数 2 对任何初始条件 即随时间t的增大物体总趋于平衡位置 机动目录上页下页返回结束 n k 临界阻尼解的特征 任意常数由初始条件定 最多只与t轴交于一点 即随时间t的增大物体总趋于平衡位置 2 无振荡现象 机动目录上页下页返回结束 例4 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解为 例5 解 特征方程 特征根 原方程通解 不难看出 原方程有特解 推广目录上页下页返回结束 例6 解 特征方程 即 其根为 方程通解 机动目录上页下页返回结束 例7 解 特征方程 特征根为 则方程通解 机动目录上页下页返回结束 内容小结 特征根 1 当 时 通解为 2 当 时 通解为 3 当 时 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 求方程 的通解 答案 通解为 通解为 通解为 第九节目录上页下页返回结束 备用题 为特解的4阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 解 根据给定的特解知特征方程有根 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 机动目录上页下页返回结束 常系数非齐次线性微分方程 机动目录上页下页返回结束 第九节 一 二 第十二章 二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理 其通解为 求特解的方法 根据f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法 机动目录上页下页返回结束 一 为实数 设特解为 其中为待定多项式 代入原方程 得 1 若 不是特征方程的根 则取 从而得到特解 形式为 为m次多项式 Q x 为m次待定系数多项式 机动目录上页下页返回结束 2 若 是特征方程的单根 为m次多项式 故特解形式为 3 若 是特征方程的重根 是m次多项式 故特解形式为 小结 对方程 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 即 即 当 是特征方程的k重根时 可设 特解 机动目录上页下页返回结束 例1 的一个特解 解 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 设所求特解为 代入方程 比较系数 得 于是所求特解为 机动目录上页下页返回结束 例2 的通解 解 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 机动目录上页下页返回结束 例3 求解定解问题 解 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 机动目录上页下页返回结束 于是所求解为 解得 机动目录上页下页返回结束 二 第二步求出如下两个方程的特解 分析思路 第一步将f x 转化为 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 机动目录上页下页返回结束 第一步 利用欧拉公式将f x 变形 机动目录上页下页返回结束 第二步求如下两方程的特解 是特征方程的k重根 k 0 1 故 等式两边取共轭 为方程 的特解 设 则 有 特解 机动目录上页下页返回结束 第三步求原方程的特解 利用第二步的结果 根据叠加原理 原方程有特解 原方程 均为m次多项式 机动目录上页下页返回结束 第四步分析 因 均为m次实 多项式 本质上为实函数 机动目录上页下页返回结束 小结 对非齐次方程 则可设特解 其中 为特征方程的k重根 k 0 1 上述结论也可推广到高阶方程的情形 机动目录上页下页返回结束 例4 的一个特解 解 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根 代入方程得 比较系数 得 于是求得一个特解 机动目录上页下页返回结束 例5 的通解 解 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程 所求通解为 为特征方程的单根 因此设非齐次方程特解为 机动目录上页下页返回结束 例6 解 1 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 2 特征方程 有根 利用叠加原理 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 机动目录上页下页返回结束 例7 求物体的运动规律 解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k时 齐次通解 非齐次特解形式 因此原方程 之解为 第七节例1中若设物体只受弹性恢复力f 和铅直干扰力 代入 可得 机动目录上页下页返回结束 当干扰力的角频率p 固有频率k时 自由振动 强迫振动 当p k时 非齐次特解形式 代入 可得 方程 的解为 机动目录上页下页返回结束 若要利用共振现象 应使p与k尽量靠近 或使 随着t的增大 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 可无限增大 若要避免共振现象 应使p远离固有频率k p k 自由振动 强迫振动 对机械来说 共振可能引起破坏作用 如桥梁被破坏 电机机座被破坏等 但对电磁振荡来说 共振可能起有 利作用 如收音机的调频放大即是利用共振原理 机动目录上页下页返回结束 内容小结 为特征方程的k 0 1 2 重根 则设特解为 为特征方程的k 0 1 重根 则设特解为 3 上述结论也可推广到高阶方程的情形 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示 1 填空 设 机动目录上页下页返回结束 2 求微分方程 的通解 其中 为实数 解 特征方程 特征根 对应齐次方程通解 时 代入原方程得 故原方程通解为 时 代入原方程得 故原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 3 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 解 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解 原方程通解为 机动目录上页下页返回结束 一阶微分方程的 机动目录上页下页返回结束 习题课 一 一 一阶微分方程求解 二 解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 一 一阶微分方程求解 1 一阶标准类型方程求解 关键 辨别方程类型 掌握求解步骤 2 一阶非标准类型方程求解 1 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 2 积分因子法 选积分因子 解全微分方程 四个标准类型 可分离变量方程 齐次方程 线性方程 全微分方程 机动目录上页下页返回结束 例1 求下列方程的通解 提示 1 故为分离变量方程 通解 机动目录上页下页返回结束 方程两边同除以x即为齐次方程 令y ux 化为分 离变量方程 调换自变量与因变量的地位 用线性方程通解公式求解 化为 机动目录上页下页返回结束 方法1这是一个齐次方程 方法2化为微分形式 故这是一个全微分方程 机动目录上页下页返回结束 例2 求下列方程的通解 提示 1 令u xy 得 2 将方程改写为 贝努里方程 分离变量方程 原方程化为 机动目录上页下页返回结束 令y ut 齐次方程 令t x 1 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动目录上页下页返回结束 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解 机动目录上页下页返回结束 例3 机动目录上页下页返回结束 设F x f x g x 其中函数f x g x 在 内满足以下条件 1 求F x 所满足的一阶微分方程 03考研 2 求出F x 的表达式 解 1 所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程 机动目录上页下页返回结束 2 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 求以 为通解的微分方程 提示 消去C得 求下列微分方程的通解 提示 令u xy 化成可分离变量方程 提示 这是一阶线性方程 其中 机动目录上页下页返回结束 提示 可化为关于x的一阶线性方程 提示 为贝努里方程 令 提示 为全微分方程 通解 提示 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 机动目录上页下页返回结束 原方程化为 即 则 故原方程通解 提示 令 机动目录上页下页返回结束 例4 设河边点O的正对岸为点A 河宽OA h 一鸭子从点A游向点 二 解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件 为平行直线 且鸭子游动方向始终朝着点O 提示 如图所示建立坐标系 设时刻t鸭子位于点P x y 设鸭子 在静水中 的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 O 水流速度大小为a 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型 要点 机动目录上页下页返回结束 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 齐次方程 机动目录上页下页返回结束 思考 能否根据草图列方程 练习题 已知某曲线经过点 1 1 轴上的截距等于切点的横坐标 求它的方程 提示 设曲线上的动点为M x y 令X 0 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动目录上页下页返回结束 题6 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在30分钟后使车间空 的含量不超过0 06 提示 设每分钟应输入 t时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后 以相同的流量排出 得微分方程 假定输入的新鲜空气 输入 的改变量为 机动目录上页下页返回结束 t 30时 解定解问题 因此每分钟应至少输入250 新鲜空气 初始条件 得 机动目录上页下页返回结束 k 二阶微分方程的 机动目录上页下页返回结束 习题课 二 二 微分方程的应用 解法及应用 一 两类二阶微分方程的解法 第十二章 一 两类二阶微分方程的解法 1 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动目录上页下页返回结束 2 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 机动目录上页下页返回结束 题2求以 为通解的微分方程 提示 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 题3求下列微分方程的通解 提示 6 令 则方程变为 机动目录上页下页返回结束 特征根 齐次方程通解 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思考 若 7 中非齐次项改为 提示 原方程通解为 特解设法有何变化 机动目录上页下页返回结束 题4 2 求解 提示 令 则方程变为 积分得 利用 再解 并利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定 机动目录上页下页返回结束 题8设函数 在r 0 内满足拉普拉斯方程 二阶可导 且 试将方程化为以r为自变 量的常微分方程 并求f r 提示 利用对称性 即 欧拉方程 原方程可化为 机动目录上页下页返回结束 解初值问题 则原方程化为 通解 利用初始条件得特解 机动目录上页下页返回结束 特征根 例1 求微分方程 提示 故通解为 满足条件 解满足 处连续且可微的解 设特解 代入方程定A B 得 得 机动目录上页下页返回结束 处的衔接条件可知 解满足 故所求解为 其通解 定解问题的解 机动目录上页下页返回结束 例2 且满足方程 提示 则 问题化为解初值问题 最后求得