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5 4有理函数 三角函数及一些无理函数的不定积分 有理函数的积分三角函数有理式的积分无理函数的积分 引例 由于 解 所以 例11求 P196 8 两个多项式的商表示的函数 一 有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 R x 是真分式 R x 是假分式 有理函数的定义 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 由代数学定理 Q x b0 x a x b x2 px q x2 rx s 对于真分式 难点 将有理函数化为最简分式之和 Q x b0 x a x b x2 px q x2 rx s 1 分母中若有因式 则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 特殊地 分解后为 待定系数法 例1 P214 例1 化为最简分式之和 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例2 例3 整理得 例4求积分 解 例5求积分 解 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数 一般记为 二 三角函数有理式的积分 万能置换公式 例7求积分 解 由万能置换公式 例8求积分 解 一 解 二 可以不用万能置换公式 结论 比较以上二种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换 令 令 被积函数为简单根式的有理式 可通过根式代换 化为有理函数的积分 例如 令 三 简单无理函数的积分 例10求积分 解令 P217 8 例11求积分 解令 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 例12求积分 解 先对分母进行有理化 原式 内容小结 1 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出 但不一定 要注意综合使用基本积分法
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