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文档简介

第五节无穷大量与无穷小量 一 无穷大量二 无穷小量三 无穷小量的性质 绝对值无限增大的变量称为无穷大 一 无穷大量 特殊情形 正无穷大 负无穷大 注意 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 它描述的是函数的一种状态 3 无穷大是一种特殊的无界变量 但是无界变量未必是无穷大 不是无穷大 无界 证 二 无穷小量 1 定义 极限为零的变量称为无穷小 例如 注意 1 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 2 零是可以作为无穷小的唯一的数 说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小 因为 当 时 显然C只能是0 C C 时 函数 或 则称函数 为 定义2 若 或 则 时的无穷小 机动目录上页下页返回结束 2 无穷小与函数极限的关系 证 必要性 充分性 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 定理2在同一过程中 无穷大的倒数为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证 3 无穷大与无穷小的关系 意义关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小的讨论 三 无穷小的运算性质 定理3在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 定理4有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 推论1在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 推论2常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小 都是无穷小 定理5有某一极限过程中 如果 x 是无穷小量 f x 以A为极限 且A 0 则仍为无穷小量 证由定理4可知 只需证为该极限过程中的有界变量即可 仅对时进行证明 其他情形类似可证 四 小结 1 主要内容 两个定义 四个定理 三个推论 2 几点注意 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混淆 零是唯一的无穷小的数 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 3 无界变量
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