数列复习与训练新方案尝试.ppt

数列 复习与训练新方案尝试黄冈中学吴校红 第一部分用类比法归纳 数列 的基础知识 回顾等差数列 等比数列的定义 可以看出 将等差数列的定义中的 差 改为 比 商 公差 改为 公比 即得等比数列的定义 也就是通过类比可以看出 等差数列 与 等比数列 的联系 2004年北京高考试题就出了一道 等和数列 的题目 那么 什么是等和数列 就只需将 等差数列 中定义中的 差 字改为 和 字即可 要有效地把握好这一章的知识可以放手让学生自己去梳理知识 去完善知识体系 老师可以指出 将等差数列的有关知识通过类比就可以得出等比数列的相应知识 好比写对联 只要将 差 改为 商 将 和 改为积 将 算术平均值 改为 几何平均值 等等 即可 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 若p q s r p q s rN 则 对任意c 0 c1 若恒大于0 则为等差数列 为等比数列 若p q s r p q s rN 则 对任意c 0 c1 为等比数列 为等差数列 主要性质 教师通过精选题目制成试卷 限时完成两套小卷 两套试卷分别限时60分钟 满分都为100分 训练时 既要讲速度 又要讲质量 老师注意那些完成得快而好的学生 在讲试卷评讲课时 让这些学生在班上交流他们的解法 是不是用了等差数列与等比数列的有关性质或重要结论使得解题更趋于简捷 这样就可起到进一步项固本章的双基的作用 第二部分用练习法巩固 数列 的基础知识 第三部分用 模式化 方法抓好两个专题的复习 无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规律来看 数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前n项和的研究 所以我们把数列通项公式的求法与前n项和的研究列为本章的两个热点专题 归纳 猜想 证明 是解决这两类问题的重要方法 除此之外 还要使学生明确针对不同的数列类型 如何选择最快捷的方法来求这个数列的通项或前n项的和 由此要求学生对这两类问题进行专题总结 让学生领会到 模式分析 层次解决 是解决数列问题的基本策略 提倡学生将 模型 与 方法 对应起来 以便在高考中能快速而又准确地解决好数列问题 1 型 累加法 2 型 累乘法 3 型 4 型 p为常数 5 p q型 p q为常数 特征根法 1 时 2 时 n 方法 变形得 则 可用累加法求出 由此求 6 型 A B C D为常数 7 已知 求 型 方法 注意是否符合 方法 构造与转化的方法 8 已知的关系 求 型 求数列 an 的前n项和的方法 1 倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 具有这样特点的数列 2 公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列 如等差 等比数列 关键是观察数列的特点 找出对应的公式 3 错位相减法 此种方法主要用于数列的求和 其中为等差数列 是公比为q的等比数列 只需用便可转化为等比数列的求和 但要注意讨论q 1和q 1两种情况 4 分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列 可将其通项写成等比 等差等我们熟悉的数列分别进行求和 再综合求出所有项的和 5 奇偶求和法 此种方法是针对于奇 偶数项 要考虑符号的数列 要求Sn 就必须分奇偶来讨论 最后进行综合 6 裂项相消法 7 分类讨论 此方法是针对数列 的其中几项符号与另外的项不同 而求各项绝对值的和的问题 主要是要分段求 8 归纳 猜想 证明 此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列 先用不完全归纳法猜出的表达式 然后用数学归纳法证明之 第四部分深化数列中的数学思想方法 一直以来 数列总是高考考查的必考与重点考查的内容之一 那么高考在这一部分有没有一定的命题规律呢 有 这体现在高考对数列的考查体现了以下的五个亮点 这五个亮点体现了对课本中的数列部分所渗透的数学思想与方法的考查 数列部分的基础知识是等差数列与等比数列这两种特殊的数列 将等差数列的定义与等比数列的定义进行类比分析 可得出其中的对偶关系 相加 对 相乘 相减 对 相除 和 对 积 差 对 商 利用这些对偶关系 我们就像写对联一样 可以由等差数列中的有关结论轻松地得出等比数列中的相关结论 例如 在等差数列中 距首末两端等距离的两项的和相等 对偶地有 在等比数列中 距首末两端等距离的两项的积相等 一 联想与类比 例 2000年上海高考题 在等差数列 an 中 若a10 0 则有等式a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a19 n n 19 n N 成立 类比以上性质 相应地 在等比数列中 若b9 1 则有等式 成立 如果知道数列的前一项或前几项 并且知道递推公式 就可以递推地把所有项都找出来 这就是递推法 因为后面的项总是归结 返回 到用前面的项表示 所以也叫递归法 二 递归与递推 例2 已知 S0 10 20 30 n0 n n的一次式 S1 1 2 3 n n的二次式 求 S2 12 22 32 n2 如果一个命题的特殊情况甚多 不便于用穷举归纳法 这时往往先研究少数 或个别 情况以求得结论 这就是不完全归纳法 这种方法虽然结论不一定正确 但对发现规律 得到正确结论有重要帮助作用 对猜想的结论只要加以严密的论证 就保证了猜想结论的正确性 三 猜想与论证 例3 已知各项都是正数的无穷数列 an 满足以下条件 a1 1 an 1 ana n N an 12 a2 2an 1an 2an 1 2an 1 0 n N 求数列 an 的通项公式 四 顺思与逆思 数列部分中的许多重要结论 把它们作为一个个的命题 那么在这些真命题中 有的逆命题是成立的 但有的逆命题是不成立的 平常 我们要自觉地多加以思考 高考对我们的要求是 要求我们能够进行主动性的学习 所以平常我们要养成自觉地提出问题 分析问题与解答问题的好习惯 例4 2004年高考题 湖北卷 已知数列 an 的前n项和Sn a 2 n 1 b 2 n 1 n 1 n 1 2 3 其中a b是非零常数 则存在数列 xn yn 使得 A an xn yn 其中 xn 是等差数列 yn 是等比数列 B an xn yn 其中 xn 和 yn 都是等差数列 C an xnyn 其中 xn 是等差数列 yn 是等比数列 D an xnyn 其中 xn 和 yn 都是等比数列 五 求和与放缩 由于高等数学学习对数列知识的要求 加之数列知识是一块只有调整未作删减的内容 高考命题组的高校教师热衷于不等式与递归数列的综合应是十分正常的 这类命题能较好体现课本知识内容与能力要求的关系 复习中应该是一个重点 同学们必须明确对这类问题的三种处理方法 一是利用转化 化归为等差或