等比数列求和1.doc

课题：等比数列的前项和（第一课时）教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）（人民教育出版社）一、教材分析 教学内容等比数列的前项和是高中数学人教版第一册（上）第三章数列第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用 地位与作用等比数列的前项和是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养就内容的人文价值来看，等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体二、学情分析 知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标 知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质 情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美. 2.教学重点、难点 重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般错位相减法数学思想；（三）能力线：观察能力初步解决问题能力. 难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究发现”教学模式教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导学生的学法：突出探究、发现与交流五、教学过程分析 教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图一、 复习回顾铺垫新知2min一、复习旧知，铺垫新知：【教师提问】（1） 等比数列定义及通项公式？（2）等比数列的项之间有何特点？回忆回答问题（1）和（2）引导学生发现等比数列各项之间的特点：从第二项起每一项比前一项多乘以，从而为用“错位相减法”求等比数列前项和埋下伏笔二、创设情境提出问题8min三、学生探索解决问题5min二、问题情境，引出课题：【多媒体动画演示】宰相西萨曾发明了象棋，国王十分高兴,决定重重的奖赏他。国王说；“无论你说出什么要求，我都想法满足你。”他回答说；“我想请您在有64个格子的棋盘的第1个给我1粒麦子，在第2个格子上赐给我2粒，第3个格子上赐给我4粒，第4个格子上赐给我8粒，第5格16粒.照这样,每一格是前面一格的2倍,赐给我满64格的麦子,臣就心满意足了。”那么西萨一共可以得多少麦子呢？ 探究：如何求和【教师提问】（1）能否逐一相加得结果？（2）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 探讨1、 ，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有 ，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？老师强调指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？观看多媒体动画，回答问题学生探究，解决情境学生观察、思考解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就可以消去了，得到： 情境动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点留出时间让学生充分地思考、讨论.用错位相减法推导等比数列前项和公式的关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论，教师引导类比倒序相加求和的本质，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法，让学生在探索过程中，充分感受到成功的乐趣，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时这也是培养学生辩证思维能力的良好契机四、类比探索形成公式5min这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。一般等比数列前n项和：即方法1：错位相减法这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？在学生推导完成之后，老师再问：由得学生推导公式在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。五、讨论交流延伸拓展8min探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？方法2：提取公比q根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出sn呢？方法3：利用等比定理学生思考，并推导公式以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化, 这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。六、巩固提高，深化认识8min（1）口答：在公比为q的等比数列中若，则_，若，则_若=15，=96，求q及 ，若 ，求及q.（2）判断是非：（ ） （ ）若且，则 （ ）例1求和 例2求等比数列的第5项到第10项的和方法1： 观察、发现：方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为，公比为，项数为变式1：求的前n项和变式2：求的前n项和学生练习做题对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。七、总结归纳加深理解3min引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结本环节由学生自主归纳、总结，教师加以补充、强调学生：（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的探究方法（2）体会等比数列前项和公式的基本元表示方法、错位相减的算法、分类讨论的数学方法，及方程思想、化归思想，整体变换的思想.（3）掌握等比数列的求和公式及简单应用剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，同时也培养学生分类讨论的数学思想 八、分层作业强化知识1min巩固作业：1、课本P143 习题3.5 （1、3、5）创新作业: 2、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？自主完成作业作业进一步巩固了本节课知识，拓展了学生数学视野，而巩固作业和创新作业两种设计体现了不同的人在数学上得到不同的发展的新课标教学理念.板书设计：等比数列的前项和一、公式的推导错位相减法（主板书）二、公式的应用：1.(1)判定 (2)选用公式 2.(1)基本量法(2)整体思想 三、延伸拓展差比数列求和错位相减法四、课堂小结 (副板书)学生议练活动 (辅助性板书)六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1） 在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2） 本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑