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三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2+cos2=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题例1已知实数x,y满足4=4，则|x|y|的最小值是_分析题中代数式4=4是平方差为常数的形式，可以考虑利用三角代换处理解题中代数式可变形为=1，令x=,y=tan,其中0,2)，则|x|y|=tan=,表示点(0,2)与单位圆+=1,x(0,1上的点连线的斜率的相反数，如下图：因此，可计算得斜率的范围为(,3，故题中所求代数式的最小值为3例2设x,y为实数，若xy+=1，求x+2y的取值范围分析联想到+=1，考虑将题中xy+=1变形，然后用三角换元进行求解解题中等式可化为+=1,进行三角换元，令x=+cos,y=,其中0,2)，解得x=sin+cos,y=,所以x+2y=sin+cos=sin(+),其中sin=,cos=因此，x+2y的取值范围为,总结(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin+cos=1,tan=1,(2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出的合理范围；练习1设x,y为实数，若4+xy=1，则2x+y的最大值是_2已知非零实数x,y恒满足3+4xy(+)，则实数的最小值为_3已知实数x,y满足+xy=2，则+xy的取值范围为_答案1；24；3,6三角换元（二）例函数f(x)=+的值域为( )A1,B1,C1D1,2分析考虑到(x3)+(4x)=1，可用三角换元对原题进行变形求解解题中函数可变形为f(x)=+由(x3)+(4x)=1，可令=sin,=cos,其中0,，此时题中函数化为f()=sin+cos,其中0,，结合辅助角公式，得f()=2sin(+),其中0,，因此，f()的取值范围为1,2，故原函数的值域为1,2总结(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出的合理范围；练习1求函数y=+的值域2设a,b0
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