八年级培优第十一讲 角平分线定理.doc

第十一讲 角平分线定理【学习目标】1、掌握角平分线的定理和逆定理。2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。【知识要点】1、 角平分线性质定理的证明及应用。定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。3、 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。4、用尺规作角的平分线：【典型例题】例1、如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且1 =2。求证：OB = OC。例2、已知，如图，CEAB,BDAC,B=C，BF=CF。求证：AF为BAC的平分线。 例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.例4、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，EBC、BCD的角平分线交于点M，BED、EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NFAB，NHED，NKAC，过点M作MJBC，MPAB，MQACEN平分BED，DN平分EDCNF_NH，NH_NKNF_NKN在A的平分线上又BM平分ABC，CM平分ACB_=_，_=_=_M在A的_上M、N都在A的_上A、M、N在一条直线上例5、如图1，OC平分，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：。 【经典练习】一、 填空题1、AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_.2、如图1，AOB=60，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.图1 图2 图33、图2，在ABC中,C=90,AD是角平分线，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_ cm.4、图3，已知AB、CD相交于点E，过E作AEC及AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_.二、选择题1、给出下列结论，正确的有（ ）到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；角的平分线与三角形平分线都是射线；任何一个命题都有逆命题；假命题的逆命题一定是假命题A.1个 B.2个C.3个D.4个2、下列结论正确的有（ ）如果(x1)(x2)=0，那么x=1；在ABC中，若B是钝角，则A、C一定是锐角；如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上A.1个 B.2个C.3个D.4个3、已知，RtABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，则D到AB的距离为（ ）A.18 B.16C.14D.124、两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A.两个三角形全等B.两个三角形一定不全等C.如果还有一角相等，两三角形就全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等5、下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等6、如图4，OB、OC是AOD的任意两条射线，OM平分AOB，ON平分COD，若MON=，BOC=，则表示AOD的代数式为（ ）A.2B. C.+D.2 图4 图57、如右上图5，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则ABEACF ，BDFCDE， D在BAC的平分线上，以上结论中正确的是 （ ）A.只有B.只有 C.只有和D.，与三、解答题1、如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB.2、已知，如图，过菱形ABCD的顶点C作,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF【课后作业】一、填空题1、如图（1），AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC，则PE_PF.2、如图（2），PDAB，PEAC，且PD=PE，连接AP，则BAP_CAP.3、如图（3），BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若AD=，则PE=_.（1） （2） （3）4、已知，如图4，AOB=60,CDOA于D，CEOB于E，若CD=CE，则COD+AOB=_度.5、如图（5），已知MPOP于P，MQOQ于