事件的独立性与相关性

概率论与数理统计 1 5事件的独立性与相关性 1 5 1两个事件的独立性与相关性 1 5 2有限个事件的独立性 1 5 3相互独立事件的性质 1 5 4Bernoulli概型 例如箱中装有10件产品 7件正品 3件次品 甲买走1件正品 乙要求另开一箱 也买走1件正品 记甲取到正品为事件A 乙取到正品为事件B 则 由乘法公式即得 P AB P A P B 从问题的实际意义理解 就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响 1 5 1两个事件的独立性与相关性 定义 若事件A与B满足P AB P A P B 则称A与B相互独立 简称A与B独立 推论1 A B为两个事件 若P A 0 则A与B独立等价于P B A P B 若P B 0 则A与B独立等价于P A B P A 证明 A B独立P AB P A P B A P A P B P B A P B 注意 从直观上讲 A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响 证明不妨设A B独立 则 其他类似可证 推论2 在A与B 与B A与 与这四对事件中 若有一对独立 则另外三对也相互独立 注意 判断事件的独立性一般有两种方法 由定义判断 是否满足公式 由问题的性质从直观上去判断 例1 5 1某高校的一项调查表明 该校有30 的学生视力有缺陷 7 的学生听力有缺陷 3 的学生视力与听力都有缺陷 记 学生视力有缺陷 学生听力有缺陷 学生听力与视力都有缺陷 现在来研究下面三个问题 1 事件 与 是否独立 由于 所以事件 与 不独立 即该校学生视力与听力 缺陷有关联 2 如果已知一学生视力有缺陷 那么他听力也有缺陷的概率是多少 这要求计算条件概率 由定义知 3 如果已知一学生听力有缺陷 那么他视力也有缺陷的概率是多少 类似地可算条件概率 定义设 称 为事件 与 的相关系数 定理1 5 1 1 当且仅当 与 相互独立 3 2 定义 n个事件的相互独立性 设有n个事A1 A2 An 若对任何正整数m 2 m n 以及 则称这n个事件相互独立 若上式仅对m 2成立 则称这n个事件两两独立 注意 从直观上讲 n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响 1 5 2有限个事件的独立性 例1 5 2随机投掷编号为1与2的两个骰子事件A表示1号骰子向上一面出现奇数 B表示2号骰子向上一面出现奇数 C表示两骰子出现的点数之和为奇数 则 但 1 5 3相互独立事件的性质 性质1 如果 个事件 相互独立 则 个事件改为相应的对立事 个事件仍然相互独立 将其中任何 件 形成新的 性质2 如果 个事件 相互独立 则有 例1 5 3三个元件串联的电路中 每个元件发生断电的概率依次为0 3 0 4 0 6 且各元件是否断电相互独立 求电路断电的概率是多少 解设A1 A2 A3分别表示第1 2 3个元件断电 A表示电路断电 则A1 A2 A3相互独立 A A1 A2 A3 P A P A1 A2 A3 1 0 168 0 832 例1 5 4已知事件A B C相互独立 证明 事件 证 事件 例1 5 5设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0 4 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件A 第i个人的血清中含有肝炎病毒为事件Ai i 1 2 100 则 若Bn表示n个人的血清混合液中含有肝炎病毒 则 注意 不能忽视小概率事件 小概率事件迟早要发生 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为元件 或系统 的可靠性 系统由元件组成 常见的元件连接方式 串联 并联 设两系统都是由4个元件组成 每个元件正常工作的概率为p 每个元件是否正常工作相互独立 两系统的连接方式如下图所示 比较两系统的可靠性 S1 S2 例1 5 6某射手在相同条件下独立地进行5次射击 每次击中目标的概率是0 6 求 概率最大的击中目标次数 解 击中目标次数可能取值为0 1 2 3 4 5 设Bi i 0 1 5 表示击中目标i次 事件Ai表示第i次射中 i 1 2 5 则Ai i 1 2 5 相互独立 P B0 1 0 6 5 0 45 P B1 5 0 6 1 0 6 4 例1 5 6某射手在相同条件下独立地进行5次射击 每次击中目标的概率是0 6 求 概率最大的击中目标次数 即 i 0 1 2 3 4 5 类推得 P B3 P B4 P B5 P B2 解 击中目标次数可能取值为0 1 2 3 4 5 设Bi i 0 1 5 表示击中目标i次 事件Ai表示第i次射中 i 1 2 5 则Ai i 1 2 5 相互独立 易计算 概率最大的击中目标次数为3 一般地 设射击次数为n 每次射击击中目标的概率为p 则 当 n 1 p为整数时 概率最大的击中目标次数为 n 1 p和 n 1 p 1 当 n 1 p不为整数时 概率最大的击中目标次数为 n 1 p的整数部分 若某个试验由n次基本试验构成 且具有以下特点 1 每次基本试验有且只有两个可能结果 成功 失败 2 每次基本试验中每个结果出现的概率不变 3 基本试验之间相互独立 4 在相同条件下 试验可以重复进行 则称此试验为独立重复试验或贝努里 Bernoulli 试验 由于该试验由n次基本试验构成 故亦称之为n重贝努里试验 贝努里公式 在n重贝努里试验中 如果 成功 在每次试验中出现的概率为p 令Bk 在n次试验中 成功 出现k次 则 1 5 4Bernoulli概型 例1 5 7同时掷四颗均匀的骰子 试计算 1 恰有一颗是6点的概率 2 至少有一颗是6点的概率 解 这是一个4重贝努里试验 掷每一颗骰子就是一个基本试验 每次基本试验中6点出现的概率是1 6 所以 1 恰有一颗是6点的概率为 2 至少有一颗是6点的概率为 例1 5 8八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹 若有不少于2发炮弹命中目标时 目标就被击毁 如果每门炮命中目标的概率为0 6 求目标被击毁的概率 解 设一门炮击中目标为事件A P A 0 6 设目标被击毁为事件B 则 解 设取出的5个数按由小到大排列为 1 1 2 3 3 1 1 2 3 4 所取的5个数字中至少有3个数字不大于4 例1 5 9从1 2 10十个数字中有放回地任取5个数字 求取出的5个数字中按由小到大排列 中间的那个数等于4的概率 令Ak表示所取的5个数字中恰有k个不大于4 则 由于 事件独立性的应用 1 加法公式的简化 若事件A1 A2 An相互独立 则 2 在可靠性理论上的应用如图 1 2 3 4 5表示继电器触点 假设每个触点闭合的概率为p 且各继电器接点闭合与否相互独立 求L至R是通路的概率 设A L至R为通路 Ai 第i个继电器通 i 1 2 5 由全概率公式 1 某型号火炮的命中率为0 8 现有一架敌机即将入侵 如果欲以99 9 的概率击中它 则需配备